1.用途
現實是咱們的處理和測量模型都是非線性的，結果就是一個不規則分佈，KF可以使用的前提就是所處理的狀態是知足高斯分佈的，爲了解決這個問題，EKF是尋找一個線性函數來近似這個非線性函數，而UKF就是去找一個與真實分佈近似的高斯分佈。算法
- KF處理線性模型:
- EKF 經過雅克比和偏導數近似非線性模型，可是忽略了高階導數：（強非線性系統下偏差大，另外一方面Jacobian矩陣的計算複雜）
- UKF 經過去點的方式近似非線性模型，由於沒有用雅克比和偏導數，讓計算變得更加簡單，同時也沒有忽略高階導數項。
- PF不必定限於高斯分佈
2.KF
卡爾曼濾波是一種高效率的遞歸濾波器(自迴歸濾波器), 它可以從一系列的不徹底包含噪聲的測量(英文:measurement)中，估計動態系統的狀態，然而簡單的卡爾曼濾波必須應用在符合高斯分佈的系統中。數組
百度百科是這樣說的，也就是說卡爾曼濾波第一是遞歸濾波，其次KF用於線性系統。函數
但通過研究和改進，出現了不少卡爾曼，如EKF（extended kalman filter）擴展卡爾曼，UKF（Unscented Kalman Filter）無跡卡爾曼等等。優化
而咱們就來研究EKF，而EKF的中心思想就是將非線性系統線形化後再作KF處理。spa
狀態方程 3d
當咱們從最簡單的系統開始，咱們假定k時刻的系統狀態與k-1時刻有關，因而咱們能夠獲得方程：blog
其中a爲常量，可是當系統內部有噪聲，咱們稱爲過程噪聲 ，計爲w。因此方程能夠寫成：教程
而咱們實際觀測的時候會出現觀測噪聲，因而咱們將觀測值計爲Z，觀測噪聲爲v，那咱們能夠把k時刻的觀測值與系統狀態值寫成方程：遞歸
因而最簡單的系統狀態方程就有啦。rem
卡爾曼濾波算法核心思想在於預測+測量反饋，它由兩部分組成，第一部分是 線性系統狀態預測方程，第二部分是 線性系統觀測方程。
這裏系統的預測時候，咱們要將經過系統狀態方程計算的預測值做爲先驗信息，以後在觀測部分在從新更新這個信息。
回頭說狀態的預測，咱們引入一個符號 ^在相應的變量上表示該變量是預計值。再說一個新概念：新息。一個時間序列{X(t)}裏，根據歷史數據的預測值，新息是真實值減去預測值。
注：上有波浪線表示新息，也有用字母e表示的；上面尖的是預測值；無標註爲真實值
咱們給出一個優化過的預測值，新預測值 = 上一輪預測值（先驗） + 權重 × 新息，即：
那下一個問題就是權重g是怎麼計算得出的呢？答案是間接的從噪聲裏求得的。當咱們將估計協方差叫作p，而傳感器的協方差爲r，咱們經過這兩個值計算權重。
既然得到了g，咱們下一步將先驗信息輸入到上面的兩個方程中得到後驗預測值，也就是咱們的輸出值。
那整個計算步驟和過程就應該是這樣的：
先預測後更新。具體計算過程和曲線生成能夠參考levys教程的Part7。
以後咱們再說更復雜一點的系統，系統地狀態方程引入了輸入量U。換句話說有一個U會時刻影響系統狀態量。
而觀測到的觀測值爲
那咱們新的計算方法就須要引入這兩個新的變量，
一樣是預測，更新，預測下一時刻，更新的計算方式。
而當系統用矩陣的方式寫的狀態方程，就須要以矩陣的方式計算。相同的數學公式及計算方法。如P的計算，
又如G，
還有P的更新，
這樣的話，咱們的系統方程及計算步驟方式以下
須要注意的是咱們使用的R是對測量偏差v的協方差，當咱們在引入一個Q表明過程噪聲引發的偏差時，能夠使系統表現更好，即便Q很小，
2.1 非線性系統之EKF
那若是系統是非線性的呢？咱們若是將觀測值Z計作X的非線性函數組成的，咱們的模型能夠改爲。
而咱們的中心思想是將其線性化，若是咱們使用函數一階導爲C來計算G和P。
最後系統複雜到這樣的程度，
那咱們就引入雅科比矩陣，雅各比矩陣就是方程矩陣對每個變量的偏導數。
則在向量分析中，雅可比矩陣Jacobian matrix是該函數的全部份量（ 個）對向量 的全部份量（ 個）的一階偏導數組成的矩陣。
函數有 個份量，因而有 行。向量 有 個份量，因而有 列。
而最終，F爲f方程的雅可比，H爲h方程的雅可比。最終計算以下：
到這裏簡單的EKF就已經完成基本介紹啦。
3.UKF
3.1 模型
z(k+1)=h(x(k+1))
3.2 預測
1.預測sigma point（k+1步的分佈點）
2.預測均值（Xpred)和方差(Ppred)
其中：
3.預測測量值
z(k+1)i=h(x(k+1)i)
從而zpred：
3.3更新
1.更新卡爾曼係數
其中：
2.更新最終值：