從座標系圖中理解「空間變換」

 

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長久以來，「空間變換」這個話題對我就像是謎同樣的存在。我瞭解這種事物所講的原由和結果，卻始終對當中的過程參悟不透。我知道，這是由於大學時常常逃課的結果：至今線性代數這門知識，都未曾系統性地學過一遍。今日，當往往不得不接觸這個使人膽寒的東西時，我老是當心翼翼地記着那"咒語"般的規則——總之把矩陣和向量那麼乘一下，就算是轉了麼。

 

不過最近，在學習「 切空間"時，竟偶然意識到，原來能夠用在幾何學中常常用到的工具「座標系圖」來直觀地分析這種變換。因此，我想就這個新的認識再在這裏分享一下。

 

讓咱們從一個實際的例子入手：下圖是一個 用兩維的笛卡爾座標系表示的二維空間。

 

 

 

 

其中，黑色 座標系  x-y 表明一個二維空間 ； 藍色座標系  i-j 表明另一個二維空間。已知藍色座標系軸在黑色座標系下對應的值是i=(1,1), j=(-1,1)，又知橙色向量 p 處在 i-j 空間中，其座標值爲(2,1)。如今的問題是，這個 p 被轉換到黑色座標系 x-y 空間下它的座標值是什麼？

 

解決這個問題一個最關鍵也最直接的想法是「向量分解與再合成」。p 能夠被分解到  i 和  j 兩個方向，獲得  p= 2 i+ j；同時  i 又能夠分解到  x 和  y 兩個方向，獲得  i =  x +  y，另外  j 也能夠分解獲得  j = - x +  y。因而，咱們所有展開，就獲得  p_(i-j) = 2 i +  j = 2( x +  y) + (- x +  y) =  x + 3 y =  p _{(x-y) 。}所以點  p 在  x-y 空間下的座標值爲 (1,3)。

這種方法能夠用來討論更通常的狀況。假設 p點在  i-j 座標系下爲 (k1,k2)，在  x-y 座標系下爲( q1,q2)。一樣地有基向量  i 對應在  x-y 空間中爲 (m1,m2)； j 對應在  x-y 空間中爲 (n1,n2)。因而咱們有如下推導，

i = m1 x + m2 y， j = n1 x + n2 y

 

因而，

 

  p_(i-j)  = k1 i + k2 j

         = k1( m1x + m2y) + k2( n1x + n2y)

         = (k1m1 + k2n1) x + (k1m2 + k2n2) y

 

因而，

 

  p_(i-j)  = ( k1m1 + k2n1, k1m2 + k2n2)

         =  (q1, q2)

         =  p _(x-y)

 

獲得，

 

q1 = k1m1 + k2n1

q2 = k1m2 + k2n2

 

變換成矩陣形式，

 

 

其中 (k1,k2)是  i-j 空間下的座標值，而 (q1,q2)是  x-y 空間下的座標值。中間的矩陣就是用來作轉換的矩陣。從中咱們能夠發現，若是豎着來觀察，向量 (m1,m2)就是基向量  i 在  x-y 空間下的座標值，而向量 (n1,n2)則是基向量  j 在  x-y 空間下的座標值。這個矩陣，實際上就是由空間  i-j 下的基向量在空間  x-y 下的座標值構成的。這一點，之前我就知道。但直到今天，我才理解了爲何是這樣。

 

由於知道了底細，因此一些長久以來伴隨的困惑也隨之消解。好比，對於一個變換表達式  M * v1， v1究竟會被變換成什麼樣子，或者說什麼空間內呢？這要由矩陣 M決定： M中的各基向量表明的是什麼空間，這個 v1就會被轉換到什麼空間。

 

這個結論能夠很天然地擴推廣到三維或者高維空間中，由於「 向量分解與再合成」的規則在通常（歐幾里得）幾何學中是廣泛適用的。

 

如今，麻麻不再用擔憂個人「空間轉換」能力啦。