最小生成樹 簡單入門

最小生成樹

建圖是圖論基礎
https://blog.csdn.net/nuoyanli/article/details/88842395

什麼是最小生成樹

最小生成樹：任何只由 $G$G的邊構成,幷包含 $G$G的所有頂點的樹稱爲 $G$G的生成樹( $G$G連通). 加權無向圖 $G$G的生成樹的代價是該生成樹的所有邊的代碼(權)的和. 最小代價生成樹是其所有生成樹中代價最小的生成樹。

可以看啊哈算法理解 或者 參考這個博客

http://www.javashuo.com/article/p-fgvmztmv-ho.html

算法

• 普利姆（ $Prim$Prim）
  此算法可以稱爲「加點法」，每次迭代選擇代價最小的邊對應的點，加入到最小生成樹中。算法從某一個頂點 $s$s開始，逐漸長大覆蓋整個連通網的所有頂點。
  圖的所有頂點集合爲 $V$V；
  初始令集合 $u={s},v=V−u$u=s,v=V−u;
  在兩個集合 $u,v$u,v能夠組成的邊中，選擇一條代價最小的邊 $(u_0,v_0)$(u0​,v0​)，加入到最小生成樹中，並把 $v_0$v0​併入到集合 $u$u中。
  重複上述步驟，直到最小生成樹有 $n-1$n−1條邊或者 $n$n個頂點爲止。

• 克魯斯卡爾（ $Kruskal$Kruskal)

假設 $WN=(V,{E})$WN=(V,E)是一個含有 $n$n個頂點的連通網，則按照克魯斯卡爾算法構造最小生成樹的過程爲：先構造一個只含n個頂點，而邊集爲空的子圖，若將該子圖中各個頂點看成是各棵樹上的根結點，則它是一個含有n棵樹的一個森（摘自 $nocow$nocow）

$Kruskal$Kruskal算法（克魯斯卡爾算法）：（如果想要邊的總長度之和最短，我們自然可以想到首先先選最短的邊）將所有的邊排序，從最小的邊開始選，每次連通最小的邊，不能形成迴路，所以就要求判斷兩點間是否已經連通。爲了優化操作，我們這裏用並查集優化，判斷其是否在一個樹上。如果不在一個樹上，就加進去，繼續添加，直到所有的邊都在一個集合即可（連通）。
時間複雜度爲 $O(mlogm)$O(mlogm)

這是我的簡單證明和模板

https://blog.csdn.net/nuoyanli/article/details/88662568