圖論算法之最小生成樹（Krim、Kruskal）

圖論算法之最小生成樹（Krim、Kruskal）

1、圖論基礎

圖論 (Graph theory) 是數學的一個分支，圖是圖論的主要研究對象。 圖 (Graph) 是由若干給定的頂點及連接兩頂點的邊所構成的圖形，這種圖形通常用來描述某些事物之間的某種特定關係。頂點用於代表事物，連接兩頂點的邊則用於表示兩個事物間具有這種關係。

• 圖的相關名詞解釋：

  • 圖的表示法：G=(V(G),E(G))，其中V(G)表示點集，E(G)表示邊集；

  • 度：與一個頂點v關聯的邊的條數稱作該頂點的度，如果是有向圖的話，分爲入度和出度。

• 圖的分類：有向圖和無向圖；是否爲加權圖；有環圖和無環圖。

• 圖的表示法：鄰接矩陣和鄰接表。（通常稀疏的圖用鄰接表，稠密的圖用鄰接矩陣，稀疏的圖用鄰接矩陣會非常浪費空間的）

• 圖的遍歷：深度優先搜索和廣度優先搜索。（DFS使用棧，將頂點存儲在棧中，頂點是沿着路徑被探索的，存在新的相鄰節點就去探索；BFS使用隊列，將頂點存入隊列中，最先如隊列的頂點先被探索）

• 圖遍歷作用：可以用來尋找特定的頂點或尋找兩個頂點之間的路徑，檢查圖是否連通，檢查圖是否含有環等。

• 圖遍歷的思想：追蹤每個第一次訪問的節點，並且追蹤有哪些節點還沒有被完全探索。對於兩種遍歷方法，都需要指明第一個被訪問的頂點。完全探索一個頂點要求我們查看該頂點的每一條邊。爲了保證算法的效率，務必訪問每個頂點至多兩次。

2、最小生成樹

最小生成樹（Minimum Spanning Tree，MST）：無向連通圖中邊權和最小的生成樹（最短路徑連接所有節點）。

注意：只有連通圖纔有生成樹，而對於非連通圖，只存在生成森林。

最小生成樹有很多實際問題的應用，例如：要在n個城市之間鋪設光纜，主要目標是要使這n個城市的任意兩個之間都可以通信，但鋪設光纜的費用很高，且各個城市之間鋪設光纜的費用不同，因此另一個目標是要使鋪設光纜的總費用最低。這就需要找到帶權的最小生成樹。

有兩個經典的算法可以用來解決最小生成樹問題：Kruskal算法和Prim算法。其中Kruskal算法中便應用了並查集這種數據結構。Prime算法維護的是頂點的集合，而Kruskal維護的是邊的集合。

3、Kruskal算法

此算法可以視爲「加邊法」，即把所有邊按cost從小到大排序，然後使用並查集依次嘗試合併每個邊：

• 如果合併成功，則加入這條邊；
• 如果合併失敗（邊的兩個節點已經合併過），說明產生了環，則丟棄這條邊。

Kruskal算法 = 貪心 + 並查集

通過並查集合並後，每個連通分量節點都會有相同的root，因此檢查所有節點的root：

• 如果檢查到只有一個root，說明這個圖只有一個連通分量，是連通圖，返回cost；
• 如果檢查到超過一個root，說明這個圖有多個連通分量，不是一個連通圖，返回-1。

4、Krim算法

此算法可以視爲「加點法」，即Kruskal算法每次添加一個最小的邊，而Prim算法則是每次添加一個距離已選取節點集最近的點。

流程如下：

• 集合S表示已選取的節點集；
• 選任意一個節點作爲起始節點 A，放到集合S中，並更新其他節點到集合S的最近距離。因爲當前S中只有一個節點 A，因此更新爲到節點 A 的距離；
• 選取距離S最近的一個節點 B，放到集合S中，並更新其他節點到集合S的最近距離。也就是節點 i 的距離更新爲 min { adj[A][i], adj[B][i] }；
• 繼續選取、更新，直到N個節點都被選取。
  

實際提交發現，Prim算法效果遠不如Kruskal好，原因如下：

• 題目給的是邊（connections），而使用Prim算法，需要快速得到兩個節點之間的距離。如果每次都直接遍歷connections，複雜度太高，因此需要先轉換成鄰接矩陣或鄰接表。選擇合適的鄰接矩陣或鄰接表，是解決本題的一個關鍵。
• 另外一個關鍵點就是，獲取距離最小的節點，可以直接遍歷，也可以藉助 PriorityQueue 實現。