麻省理工公開課：線性代數 第7課 求解Ax=0：主變量、特解

參考資料：

網易公開課：http://open.163.com/special/opencourse/daishu.html　　麻省理工公開課：線性代數

教材：Introduction to Linear Algebra, 4th edition  by Gilbert Strang

連接：https://pan.baidu.com/s/1bvC85jbtOVdVdw8gYMpPZg 
提取碼：s9bl 

假設：$A$爲$3\times 4$長方形矩陣（線性相關），求解$A\mathbf{x}=0$

1、消元elimination（不改變零空間$N(A)$）：獲得行階梯形式(row echelon form)的$U$

（1）消元的過程當中，方程組的解$\mathbf{x}$不變，所以零空間不變，可是會改變列空間。

（2）能夠看出主元的數量爲2，即矩陣的秩爲2　　//rank of $A$ = 主元(pivot)個數

（3）主元對應的列爲「主列」(一、3)，其餘列被稱爲「自由列」(二、4)　　//自由列的含義對應變量（本例爲$x_2, x_4$）爲能夠取任意值，經過回代求得主列（本例爲$x_1, x_3$）的值

（4）分別令自由變量$(x_2, x_4)$爲(1,0)和（0,1），回代入方程組$U\mathbf{x}=0$求得$x_1, x_3$（兩組特解），最終構造包含全部解的零空間$N(A)$爲：

注：

• 零空間爲特解的線性組合，特解的個數與自由變量的個數一致　　//若$m\times n$矩陣的秩爲$r$，則自由變量的個數爲$n-r$
• 無自由變量時，零空間僅包含零向量

（5）求解$A\mathbf{x}=0$步驟：消元 —> 肯定主元個數 —> 設置自由變量取值，利用回代法求解特解 —> 根據特解構造零空間

（6）簡化的行階梯形式(reduced) $R$：令主元爲1，且主元上下均爲0　　//$R\mathbf{x}=0$

注：全0行表示原來的行是其餘行的線性組合，因此被消元步驟消去

（7）將主列和自由列分別放在一塊兒，能夠獲得：

　　求解$R\mathbf{x}=0$能夠直接求解$RN=0$：

 

注：零空間矩陣$N$的各列爲求得的各個特解