麻省理工公開課：線性代數 第2課 矩陣消元

參考資料：

網易公開課：http://open.163.com/special/opencourse/daishu.html　　麻省理工公開課：線性代數

教材：Introduction to Linear Algebra, 4th edition  by Gilbert Strang

連接：https://pan.baidu.com/s/1bvC85jbtOVdVdw8gYMpPZg 
提取碼：s9bl 

假設求解：

$x+2y+z=2$

$3x+8y+z=12$

$4y+z=2$

1、消元

1. 矩陣形式$A\mathbf{x}=b$：

 2. 消元過程以下：

矩陣[A b]爲增廣矩陣，獲得的主元（pivot）分別爲$1, 2, 5$，矩陣$A$的行列式爲主元的乘積；

3. 回代求解

 消元后的等式爲$U\mathbf{x}=c$

$x+2y+z=2$

$2y-2z=6$

$2z=-10$

求解得：$z=-2, y=1, x=2$

4. 行變換的矩陣表示（第一、3行不變，第2行減去第1行的3倍）：初等矩陣$E_{21}、E_{32}$

因此，能夠獲得：$$E_{32}E_{21}A\mathbf{x}=EA\mathbf{x}=U\mathbf{x}$$

注：

• 矩陣左乘列向量$A\mathbf{x}$：結果爲列向量，應理解爲矩陣各列向量的線性組合
• 矩陣右乘行向量$\mathbf{y}A$：結果爲行向量，應理解爲矩陣各行向量的線性組合

5. 置換矩陣P（左乘$PA$交換行，右乘$AP$交換列）