麻省理工公開課：線性代數 第6課 列空間和零空間

參考資料：

網易公開課：http://open.163.com/special/opencourse/daishu.html　　麻省理工公開課：線性代數

教材：Introduction to Linear Algebra, 4th edition  by Gilbert Strang

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提取碼：s9bl 

1、向量空間和子空間（加法封閉、數乘封閉）

向量空間$R^3$的子空間：$R^3$、任意通過原點$(0, 0, 0)$的平面$P$和直線$L$、只包含零向量的空間$Z$

並集：$P\bigcup L$是子空間嗎？　　//否！對加法運算不封閉

交集：$P\bigcap L$是子空間嗎？　　//是！

結論：任意子空間的交集仍然是子空間

2、矩陣列空間 $C(A)$：全部列向量的線性組合構成的子空間

（1）由於$A$爲$4\times 3$矩陣，列向量爲四維向量，因此列空間$C(A)$是$R^4$的子空間（真子空間）

（2）$A\mathbf{x}=\mathbf{b}$對任何$\mathbf{b}$都有解嗎？　　//否！當且僅當$\mathbf{b}$位於矩陣$A$的列空間$C(A)$時，有解！

（3）因爲矩陣$A$的第三列爲前兩列的線性組合（和），因此列向量是線性相關的，列空間$C(A)$僅爲$R^4$的二維子空間

3、矩陣零空間 $N(A)$：$A\mathbf{x}=\color{red}0$的全部解$\mathbf{x}$構成的子空間　　//與$\mathbf{b}$無關，等價於$\mathbf{b}=\mathbf{0}$

（1）由於$A$爲$4\times 3$矩陣，向量$\mathbf{x}$爲三維向量，因此零空間$N(A)$是$R^3$的子空間

（2）本例的零空間爲$R^3$中的一條直線$c(1, 1, -1)$　　//記(1, 1, -1)爲列向量，[1 1 -1]爲行向量

（3）驗證 $N(A)$爲子空間

　　假設：$A\mathbf{v}=0$、$A\mathbf{w}=0$

　　則：$A(\mathbf{v}+\mathbf{w})=A\mathbf{v}+A\mathbf{w}=0$（加法封閉）

　　　　$A(c\mathbf{v})=cA\mathbf{v}=0$（數乘封閉）

（4）$A\mathbf{x}=\mathbf{b}, \mathbf{b}\neq\mathbf{0}$ 的全部解是否構成子空間？　　//否！解中不包含原點$\mathbf{0}$，本例中全部的解構成不穿過原點的直線

4、構造子空間的兩類方法

（1）已知空間內的向量，經過線性組合進行構造　　//列空間

（2）已知空間內向量必須知足的方程組，而空間內的向量未知　　//零空間