麻省理工公開課：線性代數 第4課 A的LU分解

參考資料：

網易公開課：http://open.163.com/special/opencourse/daishu.html　　麻省理工公開課：線性代數

教材：Introduction to Linear Algebra, 4th edition  by Gilbert Strang

連接：https://pan.baidu.com/s/1bvC85jbtOVdVdw8gYMpPZg 
提取碼：s9bl 

1、$A=LU$

其中，$L$爲下三角矩陣，$U$爲上三角矩陣；將主元提取出來可得：

其中，$D$爲包含主元的對角矩陣

三維矩陣情形（無行交換）：

$$EA=E_{32}E_{31}E_{21}A=U \Rightarrow A=\color{red}{E_{21}^{-1}E_{31}^{-1}E_{32}^{-1}}U=LU$$

2、置換矩陣$P$（行或列交換）：行從新排列的單位矩陣

（1）性質：$P^{-1}=P^{T}$　　//矩陣的轉置和逆相等，即$\color{red}{P^TP=I}$

（2）三維情形有6種置換矩陣：

（3）四維矩陣有24種置換矩陣

 

注：$n\times n$矩陣的置換矩陣個數爲$n!$（n的階乘）