麻省理工公開課：線性代數視頻總結（課1-2）

       引言：最近學習Gilbert Strang教授關於線性代數的麻省理工公開課視頻，爲了防止遺忘和往後鞏固，特此作一個視頻總結。公開課視頻地址：麻省理工公開課：線性代數

第一課：方程組的幾何解釋

       矩陣是由線性方程組得來，因此線性方程組的求解過程能夠轉變爲矩陣之間的變換。如下面這個方程組爲例：
該方程組能夠轉化爲兩種形式，也是Gilbert Strang教授所說的行圖像和列圖像。

• 行圖像（Row Picture）

        形如AX=b,其中A爲係數矩陣，X爲未知數矩陣，b爲常數矩陣，對應行圖像爲：

                         

• 列圖像（Col Picture）

        此表達式爲列向量的線性組合，對應列圖像爲：

                         

第二課：矩陣消元

       求解多元方程組的方法中最經典的是消元法。而從矩陣的角度來看，是將係數矩陣A變換爲上三角矩陣的過程。咱們以多元方程組爲例進行說明。

係數矩陣A轉換爲爲U (上三角矩陣)

一樣的，在矩陣A右側添加b向量造成增廣矩陣以相同方式進行轉化：

最後將變換後的矩陣寫成方程組形式，，利用回代便可求解

擴展1：矩陣的乘法運算

擴展2：置換
行交換：左乘置換矩陣P

列交換：右乘置換矩陣P

擴展3：逆矩陣
定義：若是矩陣A和矩陣B相乘得單位矩陣E，則稱矩陣B是A的逆，記做