麻省理工公開課：線性代數 第3課 乘法和逆矩陣

參考資料：

網易公開課：http://open.163.com/special/opencourse/daishu.html　　麻省理工公開課：線性代數

教材：Introduction to Linear Algebra, 4th edition  by Gilbert Strang

連接：https://pan.baidu.com/s/1bvC85jbtOVdVdw8gYMpPZg 
提取碼：s9bl 

1、矩陣乘法

假設：$A$爲$m\times n$矩陣，$B$爲$n\times p$矩陣，$AB=C$，$C$爲$m\times p$矩陣

（1）逐個元素$C_{ij}$求解公式

$$C_{ij}=\sum_{k=1}^{n}A_{ik}B_{kj}$$

（2）逐列求解$C_{:,j}$：$C$每一列$C_{:,j}$爲$A$的列的線性組合，組合係數由$B$的每一列決定

（3）逐行求解$C_{i,:}$：$C$每一行$C_{i,:}$爲$B$的行的線性組合，組合係數由$A$的每一行決定

（4）整列乘以整行：先分別將矩陣$A$的各列（$m\times 1$）與矩陣$B$的各行（$1\times p$）相乘獲得$m\times p$的秩1矩陣，再求和

$$C=\sum_{k=1}^{n}A_{\color{red}:,k}B_{k,\color{red}:}$$

 （5）分塊乘法

2、矩陣的逆（矩陣可逆或非奇異時存在）：

假設$A$爲方陣，相應的逆矩陣爲$A^{-1}$

（1）性質：$A^{-1}A=I=AA^{-1}$

（2）高斯-約旦消元法（求解逆矩陣：$A^{-1}[A~|~I]=[A^{-1}A~|~A^{-1}I]=[I~|~A^{-1}]$）

注：將左側的矩陣$A$變換爲單位矩陣$I$，則右側的單位矩陣$I$會變爲逆矩陣$A^{-1}$

（3）奇異矩陣（不可逆）：存在非零向量$\mathbf{x}$使得$A\mathbf{x}=0$，即奇異矩陣能夠經過各列的非零線性組合獲得零向量

（4）乘積的逆：$(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$　　

（5）$(A^{-1})^{T}=(A^{T})^{-1}$　　//轉置和逆的順序能夠互換