旋轉矩陣（Rotation Matrix）的推導及其應用

向量的平移，比較簡單。

 

縮放也較爲簡單

 

矩陣如何進行計算呢？以前的文章中有簡介一種方法，把行旋轉一下，而後與右側對應相乘。在谷歌圖片搜索旋轉矩陣時，看到這張動圖，以爲表述的很清晰了。

 

 

稍微複雜一點的是旋轉，若是隻是二維也很簡單（由於很直觀），但由於是三維的，有xyz三個軸，先推導二維的再延伸到三維。

YouTube上有很好的推導過程，視頻連接地址（需穿.牆） https://www.youtube.com/watch?v=8XRvpDhTJpw

 

有點P（Xa，Ya），當座標由 x –> y 旋轉 θ 度後，求該點在新座標軸的座標是多少

因此對於二維旋轉來說，旋轉矩陣就是

三維旋轉，須要先搞清楚正、負方向（使用的是右手法則，在二維平面增長一維z，它的正方向朝向屏幕外）。

 

繞x軸進行旋轉（在yz平面順時針旋轉）

 

繞y軸進行旋轉（在zx平面順時針旋轉）

 

繞z軸進行旋轉（在xy平面順時針旋轉）

 

— 圖片來源：http://mathworld.wolfram.com/RotationMatrix.html

參考：https://zh.wikipedia.org/wiki/旋轉矩陣

 

 

瞭解這些有什麼用處呢？以前有講到渲染被分爲三個階段：應用 –> 幾何 –> 柵格化，其中幾何階段作了大量的變換工做。

模型空間 –>( 模型矩陣) –> 世界空間 –> （視圖矩陣） –> 觀察空間（攝像機，右手座標系，其他均採用左手） –> （投影矩陣） –> 裁剪空間 –> 屏幕空間，每一次變換都對應着相應的矩陣。

 

而Unity中的 UNITY_MATRIX_MVP 矩陣表示的是從模型到裁剪座標的矩陣變換，Model Matrix ● View Matrix ● Projection Matrix。在Unity2017中使用 UnityObjectToClipPos 進行了替換，MVP也便是 模型（M）、視圖（V）、透視（P）三個單詞的首字母簡寫。

 

瞭解上面這些，才更容易理解Unity內置的變換矩陣

變量名	描述
UNITY_MATRIX_MVP	當前的模型觀察投影矩陣，用於將頂點/方向矢量從模型空間變換到裁剪空間
UNITY_MATRIX_MV	當前的模型觀察矩陣，用於將頂點/方向矢量從模型空間變換到觀察空間
UNITY_MATRIX_V	當前的觀察矩陣，用於將頂點/方向矢量從世界空間變換到觀察空間
UNITY_MATRIX_P	當前的投影矩陣，用於將頂點/方向矢量從觀察空間變換到裁剪空間
UNITY_MATRIX_VP	當前的觀察投影矩陣，用於將頂點/方向矢量從世界空間變換到裁剪空間
UNITY_MATRIX_T_MV	UNITY_MATRIX_MV的轉置矩陣
UNITY_MATRIX_IT_MV	UNITY_MATRIX_MV人逆轉置矩陣，用於將法線從模型空間變換到觀察空間，也能夠用於獲得UNITY_MATRIX_MV的逆矩陣
_Object2World	當前的模型矩陣，用於將頂點/方向矢量從模型空間變換到世界空間（依上面規則，這個其實至關於UNITY_MATRIX_M  即模型空間 –> 世界空間）
_World2Object	_Object2World的逆矩陣，用於將頂點/方向矢量從世界空間變換到模型空間

 

對照下面這張圖，更容易理解一些。

 

上面這些是基礎，只有掌握這些以後，再配置切線、法線、光照模型，在寫頂點着色器（Vertex Shader）的時候纔不至於懞圈