立體視覺 之 剛體變換

1  投影空間

　歐氏空間，主要描述角度和形狀，針對的是理想幾何物體。例如，兩條 ∥ 線永不相交，或交於無窮遠點 (虛擬的點)。中學時代的 「平面與立體幾何」，便屬於歐式空間。

　投影空間，指實際的物體，被相機拍攝後，成像所在的空間，經常使用於計算機視覺中。在投影空間裏，兩條直線必然會相交於一點，只不過當這兩條線平行時，交點爲無窮遠。

　　

　如圖所示，現實中的兩條鐵軌，成像在投影空間時，相交於某一點，也即無窮遠點；但在歐氏空間中，無窮遠點是理想點，並無實際意義。

　這樣，就須要一種新的表示方法 -- 齊次座標，將歐氏空間的無窮遠點，與投影空間中有實際意義的點，創建起映射關係。

 

 2  齊次座標

　在平面幾何裏，採用笛卡爾座標，則一個點可表示爲 $(x, y)^{T}$。若是增長一個座標值，表示爲 $(x, y, 1)^{T}$，且約定 ($x, y, 1)^{T}$ 和 $(kx, ky, k)^{T}$ 表示的是同一個點 (其中 k ≠ 0)，

則這種用一個 N+1 維的向量，來表示 N 維向量的方法，稱爲齊次座標法。

　這樣，由齊次座標 $(x, y, w)$，可推導出笛卡爾座標 $ (\dfrac{x}{w}, \dfrac{y}{w})$

2.1  無窮遠點

    歐式空間中，兩條平行線方程組，以下：

　$\begin{cases} AX + BY + C = 0 \\ AX + BY + D = 0 \end{cases} $ ，其中 C ≠ D

　齊次座標點$(x, y, w)^{T}$ 與 歐氏空間點 $(X, Y)^{T}$ 的對應關係爲： $ X = \dfrac{x}{w}, Y = \dfrac{y}{w}$，代入上面方程組得：

　$\begin{cases} A\dfrac{x}{w} + B\dfrac{y}{w} + C = 0 \\ A\dfrac{x}{w} + B\dfrac{y}{w} + D = 0 \end{cases} $  =>  $\begin{cases} Ax+ By + Cw = 0 \\ Ax+ By + Dw = 0 \end{cases} $ => $w = 0$

　既然 w = 0，則齊次座標爲 $(x, y, 0)^{T}$，對應笛卡爾座標 $(\dfrac{x}{0}, \dfrac{y}{0})^{T}$，表示的是無窮遠點 $(∞, ∞)^{T}$

2.2  合併加法

　點 $(x, y, z)^{T}$，通過伸縮和平移後，成爲點 $ (x', y', z')^{T} = (r_{1}x+t_{1}, r_{2}y+t_{2}, r_{3}z+t_{3})^{T}$，該變換過程可用以下公式表示：

　$\begin{bmatrix} x' \\ y' \\ z' \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} r_{1} \\ r_{2} \\ r_{3}  \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} t_{1} \\ t_{2} \\ t_{3} \end{bmatrix} $

　若是使用齊次座標，則可將平移變換，轉化爲矩陣乘法，消除了上式中的矩陣加法

　$\begin{bmatrix} x' \\ y' \\ z' \\1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} r_{1} & 0 & 0 & t_{1} \\ 0 & r_{2} & 0 & t_{2} \\ 0 & 0 & r_{3} & t_{3} \\ 0 & 0 & 0 & 1  \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \\ 1\end{bmatrix} $

2.3 向量和點

    齊次座標還能夠區分向量和點，具體如何區分的，尚待研究 ... ...

 

3  剛體變換

3.1  剛體定義

　歐氏空間中，當物體被視爲剛體時，無論是該物體的位置或朝向發生變化，仍是更換觀察的座標系，其大小和形狀都保持不變。

    形象點說，豬八戒的九齒釘耙，由冰鐵鑄造而成，即是一種剛體；而鎮元子大仙的七星鞭，因爲是龍皮作的，故爲非剛體。

3.2  位置和朝向

　所謂剛體變換，就是一個可被看作剛體的物體，從一個狀態 (位置和朝向)，轉換爲另外一個狀態的過程。

   

　如上所示，從世界座標系到相機座標系的轉換，朝向由旋轉矩陣 $R$ 表示，位置則由平移矩陣 $T$ 來表示： $ P_{c} = R \cdot P_{w} + T$

　其中，旋轉矩陣 $  R = \begin{bmatrix} r_{11} & r_{12} & r_{13} \\ r_{21} & r_{22} & r_{23} \\ r_{31} & r_{32} & r_{33} \end{bmatrix} $，平移矩陣 $  T = \begin{bmatrix} t_{1} \\ t_{2} \\ t_{3}   \end{bmatrix} $

　旋轉矩陣 R 爲正交矩陣 (也即，RR' = E，E 爲單位矩陣)，則知足如下 6 個約束條件

　(1)  大小約束   $\begin{cases} r_{11}^2 + r_{12}^2 + r_{13}^2 = 1 \\ r_{21}^2 + r_{22}^2 + r_{23}^2 = 1 \\ r_{31}^2 + r_{32}^2 + r_{33}^2 = 1\end{cases} $        (2) 方向約束   $\begin{cases} r_{11}*r_{21} + r_{12}*r_{22} + r_{13}*r_{23} = 0 \\ r_{21}*r_{31} + r_{22}*r_{32} + r_{23}*r_{33} = 0 \\ r_{31}*r_{11} + r_{32}*r_{12} + r_{33}*r_{13} = 0\end{cases} $

   可用一個最簡單的正交矩陣 E，來理解上面的約束條件

       $\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

3.3  轉換關係

    若已知 $R$ 和 $T$，則可將世界座標系內的空間點，與相機座標系內的空間點，創建起一一對應的關係

　$ \begin{bmatrix} X_{c} \\ Y_{c} \\ Z_{c} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} R & T \end{bmatrix} \begin{bmatrix} X_{w} \\ Y_{w} \\ Z_{w} \end{bmatrix}$

3.3.1  約束分析

    $R$ 和 $T$ 共有 12 個未知量，減去正交約束的 6 個方程，則還剩 6 個未知量。

    表面上看，彷佛只需 2 組共軛點，就可獲得 6 個約束方程，對應求出剩餘的 6 個未知量。實際上，這 6 個方程是有冗餘信息的 (兩組共軛點，在各自的座標系下，兩點之間的距離相等)

    所以，第 2 組共軛點，只是提供了 2 個約束方程，加上第 1 組共軛點的 3 個約束，共有 5 個獨立的約束方程。

    顯然，還須要第 3 組共軛點，提供 1 個獨立的方程，才能求得 $R$ 和 $T$

3.3.2  幾何解釋

    以下圖所示，考慮兩個剛體，它們之間存在着相互 旋轉 和 平移

   

   首先，在每一個剛體上，各選一個點 L1 和 R1，移動其中一個剛體，使得這兩個點重合。此時，一個剛體可相對於另外一個剛體轉動 (以三種不一樣的方式)。

   而後，在每一個剛體上，再分別取一個點 L2 和 R2，而且 | L2 - L1 | = | R2 - R1 |，移動一個剛體，使得這兩對點，分別重合。此時，一個剛體能夠相對另外一個轉動 (以一種方式)。

   最後，在每一個剛體上，分別取第三個點 L3 和 R3，知足 | L3 - L1 | = | R3 - R1 | 且 | L3 - L2 | = | R3 - R2 |，而後將這三個點對齊。此時，兩個剛體便緊緊的連在了一塊兒。

 

 參考資料

    <視覺測量> 張廣軍，第2章

    <Robot Vision> Chapter 13

    <An Invitation to 3D Vision> Chapter 2

    Homogeneous Coordinates