【OpenGL】-005 四元數

【OpenGL】-005 Understanding Quaternions翻譯

  本文是對《Understanding Quaternions》(https://www.3dgep.com/understanding-quaternions/)的翻譯。

• 【OpenGL】-005 Understanding Quaternions翻譯
• Understanding Quaternions
  • 1、簡介
  • 2、複數
    • 2.1 複數加減法
    • 2.2 複數與標量乘法
    • 2.3 複數乘法
    • 2.4 複數平方
    • 2.5 共軛複數
    • 2.6 複數絕對值
    • 2.7 複數的商
  • 3、 i $i$的冪
  • 4、複平面
    • 4.1 旋轉因子
  • 5、四元數
    • 5.1 四元數的有序偶形式
    • 5.2 四元數的加減法
    • 5.3 四元數乘法
    • 5.4 實四元數
    • 5.5 四元數與標量乘法
    • 5.6 純四元數
    • 5.7 四元數的加法形式
    • 5.8 單位四元數
    • 5.9 四元數的二元形式
    • 5.11 四元數的範數
    • 5.12 四元數歸一化
    • 5.13 四元數的逆
    • 5.14 四元數的點乘
  • 6、旋轉
  • 7、四元數插值
    • 7.1 SLERP

Understanding Quaternions

  本文中，將會使用便於理解的方式解釋四元數的概念，四元數的表現形式，四元數支持的操作，對比矩陣、歐拉角、四元數的區別以及可以使用四元數替代矩陣或歐拉角的場景。

1、簡介

  在計算機圖形學中，使用變形矩陣表示空間中的位置或朝向。單獨的一個變形矩陣可以用於表示一個物體的尺度變化或裁剪。可以認爲變形矩陣式一種基礎空間，當一個向量或點與變形矩陣相乘時，表示將該向量或點放入到該變形矩陣所描述的空間中。

  本文中，不會對變形矩陣進行詳細討論，可以參考上一篇文章《Matrices》(https://www.3dgep.com/3d-math-primer-for-game-programmers-matrices/)來獲取關於矩陣的詳細信息。

  四元數的概念是愛爾蘭數學家Sir William Rowan Hamilton在1843年10月16日在都柏林提出的。Hamilton在與妻子一起去往Royal Irish Academy(愛爾蘭皇家科學院)的路上，通過Royal Canal(皇家運河)上的Brougham Bridg(布魯厄姆橋)的時候，突然有了一個戲劇性的發現，他立即將其刻在了橋上。

i2=j2=k2=ijk=−1 $$i^2=j^2=k^2=ijk=-1$$

2、複數

  在理解四元數之前，首先需要理解四元數的由來。四元數的概念是基於複數系統的。
   作爲常見數字集合的補充，複數系統引入了一種新的數字集合稱爲虛數。虛數主要用於求解一些沒有解的方程，例如：

x2+1=0 $$x^2+1=0$$

  爲了求解這個表達式， x2=−1 $x^2=-1$必須成立，由於無論正數或負數的平方始終是正數，所以這個表達式被認爲不可能成立。
  數學家們不能接受一個表達式沒有解，所以虛數被髮明出來用於解這類表達式。
  虛數具有如下的形式：

i2=−1 $$i^2=-1$$

  不要試圖去真正的理解這個表達式，因爲它是沒有邏輯原因的。只需要接收 i $i$是一個平方之後等於 −1 $-1$的東西就行。
  虛數的集合通常使用 I $\mathbb{I}$表示。
  複數的集合(使用符號 C $\mathbb{C}$表示)是實數和虛數的和，形式如下：

z=a+bia,b∈R,i2=−1 $$z=a+bia,b\in \mathbb{R},i^2=-1$$

  可以將所有實數理解爲虛部 b=0 $b=0$的複數，所有虛數理解爲實部 a=0 $a=0$的複數。

2.1 複數加減法

  複數可以通過分別對實部和虛部進行加減法來執行加減法。
加法

(a1+b1i)+(a2+b2i)=(a1+a2)+(b1+b2)i $$(a_1+b_{1}i)+(a_2+b_{2}i)=(a_1+a_2)+(b_1+b_2)i$$

減法

(a1+b1i)−(a2+b2i)=(a1−a2)+(b1−b2)i $$(a_1+b_{1}i)-(a_2+b_{2}i)=(a_1-a_2)+(b_1-b_2)i$$

2.2 複數與標量乘法

  複數與標量的乘法是指用該標量分別乘以複數的實部和虛部：

λ(a+bi)=λa+λb $$\lambda (a+bi)=\lambda a+\lambda b$$

2.3 複數乘法

  複數的乘法遵循普通代數規則。

⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪z1 z2 z1z2 =====(a1+b1i)(a2+b2i)(a1+b1i)(a2+b2i)a1a2+a1b2i+b1a2i+b1b2i2(a1a2−b1b2)+(a1b2+a2b1)i $$\{\begin{array}{lll}{z}_1& =& (a_1+b_{1}i)\\ z_2& =& (a_2+b_{2}i)\\ z_1{z}_2& =& (a_1+b_{1}i)(a_2+b_{2}i)\\ & =& a_1{a}_2+a_1{b}_{2}i+b_1{a}_{2}i+b_1{b}_2{i}^2\\ & =& (a_1{a}_2-b_1{b}_2)+(a_1{b}_2+a_2{b}_1)i\end{array}$$

2.4 複數平方

  複數的平方表示複數乘以它自身。

⎧⎩⎨zz2===(a+bi)(a+bi)(a+bi)(a2−b2)+2abi $$\{\begin{array}{lll}z& =& (a+bi)\\ z^2& =& (a+bi)(a+bi)\\ & =& (a^2-b^2)+2abi\end{array}$$

2.5 共軛複數

  共軛複數是指具有相同的實部，虛部是原虛部的相反數的複數，用符號 z∗ $z^{\ast }$或 z¯¯¯ $\bar{z}$表示。

{zz∗==(a+bi)(a−bi) $$\{\begin{array}{lll}z& =& (a+bi)\\ z^{\ast }& =& (a-bi)\end{array}$$

  共軛複數的乘法結果如下：

⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪zz∗zz∗=(a+bi)====(a−bi)(a+bi)(a−bi)a2−abi+abi+b2a2+b2 $$\{\begin{array}{ll}z& =(a+bi)\\ z^{\ast }& =& (a-bi)\\ z{z}^{\ast }& =& (a+bi)(a-bi)\\ & =& a^2-abi+abi+b^2\\ & =& a^2+b^2\end{array}$$

2.6 複數絕對值

  可以使用共軛複數來計算複數的絕對值(範數或模)，複數的絕對值是該複數與其共軛複數的乘積的平方根，記爲 |z| $|z|$:

⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪z|z|====(a+bi)zz∗−−−√(a+bi)(a−bi)−−−−−−−−−−−−√a2+b2−−−−−−√ $$\{\begin{array}{lll}z& =& (a+bi)\\ |z|& =& \sqrt{z{z}^{\ast }}\\ & =& \sqrt{(a+bi)(a-bi)}\\ & =& \sqrt{a^2+b^2}\end{array}$$

2.7 複數的商

  計算兩個複數的商，可以將分子與分母分別乘以分母的共軛複數，得到計算結果。

⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪z1z2z1z2======(a1+b1i)(a2+b2i)a1+b1ia2+b2i(a1+b1i)(a2−b2i)(a2+b2i)(a2−b2i)a1a2−a1b2i+b1a2i−b1b2i2a22+b22a1a2+b1b2a22+b22+b1a2−a2b1a22+b22i $$\{\begin{array}{lll}{z}_1& =& (a_1+b_{1}i)\\ z_2& =& (a_2+b_{2}i)\\ \frac{z_1}{z_2}& =& \frac{a_1+b_{1}i}{a_2+b_{2}i}\\ & =& \frac{(a_1+b_{1}i)(a_2-b_{2}i)}{(a_2+b_{2}i)(a_2-b_{2}i)}\\ & =& \frac{a_1{a}_2-a_1{b}_{2}i+b_1{a}_{2}i-b_1{b}_2{i}^2}{a_2^2+b_2^2}\\ & =& \frac{a_1{a}_2+b_1{b}_2}{a_2^2+b_2^2}+\frac{b_1{a}_2-a_2{b}_1}{a_2^2+b_2^2}i\end{array}$$

3、 i $i$的冪

  因爲 i2=−1 $i^2=-1$，所以 i $i$的其他次冪可以按如下計算：

⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪i0i1i2i3i4i5i6=======1i−1ii2i2i2ii4ii5====−i1ii2=−1 $$\{\begin{array}{lll}{i}^0& =& 1\\ i^1& =& i\\ i^2& =& -1\\ i^3& =& i{i}^2& =& -i\\ i^4& =& i^2{i}^2& =& 1\\ i^5& =& i{i}^4& =& i\\ i^6& =& i{i}^5& =& i^2& =& -1\end{array}$$

  如果繼續計算，結果符合以下規律：

(1,i,−1,−i,1,…) $$(1,i,-1,-i,1,\dots )$$

   i $i$的負次冪也滿足類似的規律：

⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪i0i−1i−2i−3i−4i−5i−6=======1−i−1i1−i−1 $$\{\begin{array}{lll}{i}^0& =& 1\\ i^{-1}& =& -i\\ i^{-2}& =& -1\\ i^{-3}& =& i\\ i^{-4}& =& 1\\ i^{-5}& =& -i\\ i^{-6}& =& -1\end{array}$$

  在二維笛卡爾座標平面中，通過不斷逆時針旋轉90°，可以得到行如 (x,y,−x,−y,x,…) $(x,y,-x,-y,x,\dots )$的序列。通過順時針方向旋轉90°，可以得到行如 (x,−y,−x,y,x,…) $(x,-y,-x,y,x,\dots )$的序列。

4、複平面

  通過將實部映射到水平軸，虛部映射到垂直軸，可以將複數映射到二維平面中，稱之爲複平面。

  觀察前面所講到的序列，可以認爲一個複數乘以 i $i$表示將該複數在複平面中逆時針旋轉90°。
  驗證如下。
  複平面中任意一點 p $p$,

p=2+i $$p=2+i$$

  將 p $p$乘以 i $i$得到 q $q$，

⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪pq=====2+ipi(2+i)i2i+i2−1+2i $$\{\begin{array}{lll}p& =& 2+i\\ q& =& pi\\ & =& (2+i)i\\ & =& 2i+i^2\\ & =& -1+2i\end{array}$$

  將 q $q$乘以 i $i$得到 r $r$，

⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪qr=====−1+2iqi(−1+2i)i−i+2i2−2−i $$\{\begin{array}{lll}q& =& -1+2i\\ r& =& qi\\ & =& (-1+2i)i\\ & =& -i+2i^2\\ & =& -2-i\end{array}$$

  將 r $r$乘以 i $i$得到 s $s$，

⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪rs=====−2−iri(−2−i)i−2i−i21−2i $$\{\begin{array}{lll}r& =& -2-i\\ s& =& ri\\ & =& (-2-i)i\\ & =& -2i-i^2\\ & =& 1-2i\end{array}$$

  將 s $s$乘以 i $i$得到 t $t$，

⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪st=====1−2isi(1−2i)ii−2i22+i $$\{\begin{array}{lll}s& =& 1-2i\\ t& =& si\\ & =& (1-2i)i\\ & =& i-2i^2\\ & =& 2+i\end{array}$$

  此時 t $t$精確的回到了起點 p $p$.將結果在複平面中畫出來，可以得到如下的結果。

  通過將複數乘以 −i $-i$，可以得到順時針旋轉的序列。

4.1 旋轉因子

  定義複平面中的旋轉因子 q $q$：

q=cosθ+isinθ $$q=cos\theta +isin\theta$$

  任意的複數乘以旋轉因子 q $q$：

⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪pqpqa′+b′i====a+bicosθ+isinθ(a+bi)(cosθ+isinθ)acosθ−bsinθ+(asinθ+bcosθ)i $$\{\begin{array}{lll}p& =& a+bi\\ q& =& cos\theta +isin\theta \\ pq& =& (a+bi)(cos\theta +isin\theta )\\ a^{\mathrm{\prime }}+b^{\mathrm{\prime }}i& =& acos\theta -bsin\theta +(asin\theta +bcos\theta )i\end{array}$$

  也可以寫成如下的形式：

[a′b′−b′a′]=[cosθsinθ−sinθcosθ][ab−ba] $$\left[\begin{array}{cc}{a}^{\mathrm{\prime }}& -b^{\mathrm{\prime }}\\ b^{\mathrm{\prime }}& a^{\mathrm{\prime }}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}cos\theta & -sin\theta \\ sin\theta & cos\theta \end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}a& -b\\ b& a\end{array}\right]$$

  上式表示在複平面中繞原點逆時針旋轉任意點。

5、四元數

  在以上關於複數和複平面的基礎上，可以通過在複數的虛數中添加另外兩個虛部，從而將點擴充值三維空間中。
  四元數的通用表達形式如下：

q=s+xi+yj+zk s,x,y,z∈R $$q=s+xi+yj+zks,x,y,z\in \mathbb{R}$$

  通過Hamilton著名的表達式：

i2=j2=k2=ijk=−1 $$i^2=j^2=k^2=ijk=-1$$

並且

ij=kji=−kjk=ikj=−iki=jik=−j $$\begin{array}{ccc}ij=k& jk=i& ki=j\\ ji=-k& kj=-i& ik=-j\end{array}$$

  從上可以看出 i,j,j $i,j,j$之間的關係類似於笛卡爾座標系下的單位向量的叉乘：

x×y=zy×x=−zy×z=xz×y=−xz×x=yx×z=−y $$\begin{array}{ccc}\mathbf{x}\times \mathbf{y}=\mathbf{z}& \mathbf{y}\times \mathbf{z}=\mathbf{x}& \mathbf{z}\times \mathbf{x}=\mathbf{y}\\ \mathbf{y}\times \mathbf{x}=-\mathbf{z}& \mathbf{z}\times \mathbf{y}=-\mathbf{x}& \mathbf{x}\times \mathbf{z}=-\mathbf{y}\end{array}$$

  Hamiltion注意到 i,j,k $i,j,k$可以用來表示笛卡爾座標系下的單位向量 i,j,k $\mathbf{i},\mathbf{j},\mathbf{k}$, i2=j2=k2=−1 ${\mathbf{i}}^2={\mathbf{j}}^2={\mathbf{k}}^2=-1$.

  上圖表示了笛卡爾座標系下的單位向量 i,j,k $\mathbf{i},\mathbf{j},\mathbf{k}$的關係。

5.1 四元數的有序偶形式

  可以將四元數表示成有序偶形式：

q=[s,v] s∈R,v∈R3 $$q=[s,\mathbf{v}]s\in \mathbb{R},\mathbf{v}\in {\mathbb{R}}^3$$

  其中 v $\mathbf{v}$也可以用它的獨立分量表示：

q=[s,xi+yj+zk] s,x,y,z∈R $$q=[s,x\mathbf{i}+y\mathbf{j}+z\mathbf{k}]s,x,y,z\in \mathbb{R}$$

  用以上形式，可以更方便的對比四元數與複數之間的相似性。

5.2 四元數的加減法

  四元數的加減法類似於複數的加減法。

qaqbqa+qbqa−qb====[sa,a][sb,b][sa+sb,a+b][sa−sb,a−b] $$\begin{array}{ccc}{q}_a& =& [s_a,\mathbf{a}\mathbf{]}\\ q_b& =& [s_b,\mathbf{b}\mathbf{]}\\ q_a+q_b& =& [s_a+s_b,\mathbf{a}\mathbf{+}\mathbf{b}\mathbf{]}\\ q_a-q_b& =& [s_a-s_b,\mathbf{a}\mathbf{-}\mathbf{b}\mathbf{]}\end{array}$$

5.3 四元數乘法

  同樣可以計算四元數的乘法：

qaqbqaqb=====[sa,a][sb,b][saa][sb,b](sa+xai+yaj+zak)(sb+xbi,ybj+zbk)(sasb−xaxb−yayb−zazb)+(saxb+sbxa+yazb−ybza)i+(sayb+sbya+zaxb−zbxa)j+(sazb+sbza+xayb−xbya)k $$\begin{array}{ccc}{q}_a& =& [s_a,\mathbf{a}]\\ q_b& =& [s_b,\mathbf{b}]\\ q_a{q}_b& =& [s_a\mathbf{a}][s_b,\mathbf{b}]\\ & =& (s_a+x_{a}i+y_{a}j+z_{a}k)(s_b+x_{b}i,y_{b}j+z_{b}k)\\ & =& (s_a{s}_b-x_a{x}_b-y_a{y}_b-z_a{z}_b)\\ & & +(s_a{x}_b+s_b{x}_a+y_a{z}_b-y_b{z}_a)i\\ & & +(s_a{y}_b+s_b{y}_a+z_a{x}_b-z_b{x}_a)j\\ & & +(s_a{z}_b+s_b{z}_a+x_a{y}_b-x_b{y}_a)k\end{array}$$

  計算結果是一個新的四元數。將虛部 i,j,k $i,j,k$用有序偶的形式表示：

i=[0,i] j=[0,j] k=[0,k] $$i=[0,\mathbf{i}]j=[0,\mathbf{j}]k=[0,\mathbf{k}]$$

  代入上式，同時認爲 [1,0]=1 $[\mathbf{1}\mathbf{,}\mathbf{0}]=\mathbf{1}$

[sa,a][sbb]=(sasb−xaxb−yayb−zazb)[1,0]+(saxb+sbxa+yazb−ybza)[0,i]+(sayb+sbya+zaxb−zbxa)[0,j]+(sazb+sbza+xayb−xbya)[0,k] $$\begin{array}{ccc}[s_a,\mathbf{a}][s_b\mathbf{b}]& =& (s_a{s}_b-x_a{x}_b-y_a{y}_b-z_a{z}_b)[\mathbf{1}\mathbf{,}\mathbf{0}]\\ & & +(s_a{x}_b+s_b{x}_a+y_a{z}_b-y_b{z}_a)[\mathbf{0}\mathbf{,}\mathbf{i}]\\ & & +(s_a{y}_b+s_b{y}_a+z_a{x}_b-z_b{x}_a)[\mathbf{0}\mathbf{,}\mathbf{j}]\\ & & +(s_a{z}_b+s_b{z}_a+x_a{y}_b-x_b{y}_a)[\mathbf{0}\mathbf{,}\mathbf{k}]\end{array}$$

  將表達式擴充成一組有序偶的和的形式：

[sa,a][sb,b]=[sasb−xaxb−yayb−zazb,0]+[0,(saxb+sbxa+yazb−ybza)i]+[0,(sayb+sbya+zaxb−zbxa)j]+[0,(sazb+sbza+xayb−xbya)k] $$\begin{array}{ccc}[s_a,\mathbf{a}][s_b,\mathbf{b}]& =& [s_a{s}_b-x_a{x}_b-y_a{y}_b-z_a{z}_b,\mathbf{0}]\\ & & +[\mathbf{0},(s_a{x}_b+s_b{x}_a+y_a{z}_b-y_b{z}_a)\mathbf{i}]\\ & & +[\mathbf{0},(s_a{y}_b+s_b{y}_a+z_a{x}_b-z_b{x}_a)\mathbf{j}]\\ & & +[\mathbf{0},(s_a{z}_b+s_b{z}_a+x_a{y}_b-x_b{y}_a)\mathbf{k}]\end{array}$$

  執行四元數單位向量乘法並提取同類型，可以將上式重寫成如下形式：

[sa,a][sb,b]=[sasb−xaxb−yayb−zazb,0]+[0,sa(xbi+ybj+zbk)+sb(xai+yaj+zak)+(yazb−ybza)i+(zaxb−zbxa)j+(xayb−xbya)k] $$\begin{array}{ccc}[s_a,\mathbf{a}][s_b,\mathbf{b}]& =& [s_a{s}_b-x_a{x}_b-y_a{y}_b-z_a{z}_b,\mathbf{0}]\\ & & +[\mathbf{0},s_a(x_b\mathbf{i}+y_b\mathbf{j}+z_b\mathbf{k})+s_b(x_a\mathbf{i}+y_a\mathbf{j}+z_a\mathbf{k})\\ & & +(y_a{z}_b-y_b{z}_a)\mathbf{i}+(z_a{x}_b-z_b{x}_a)\mathbf{j}+(x_a{y}_b-x_b{y}_a)\mathbf{k}]\end{array}$$

  上式給出了兩個有序偶的和，其中第一個是一個實四元數，第二個是一個虛四元數。這兩個有序偶可以組合成一個有序偶：

[sa,a][sb,b]=[sasb−xaxb−yayb−zazb,sa(xbi+ybj+zbk)+sb(xai+yaj+zak)+(yazb−ybza)i+(zaxb−zbxa)j+(xayb−xbya)k] $$\begin{array}{ccc}[s_a,\mathbf{a}][s_b,\mathbf{b}]& =& [s_a{s}_b-x_a{x}_b-y_a{y}_b-z_a{z}_b,\\ & & s_a(x_b\mathbf{i}+y_b\mathbf{j}+z_b\mathbf{k})+s_b(x_a\mathbf{i}+y_a\mathbf{j}+z_a\mathbf{k})\\ & & +(y_a{z}_b-y_b{z}_a)\mathbf{i}+(z_a{x}_b-z_b{x}_a)\mathbf{j}+(x_a{y}_b-x_b{y}_a)\mathbf{k}]\end{array}$$

  代入：

aba⋅ba×b====xai+yaj+zakxbi+ybj+zbkxaxb+yayb+zazb(yazb−ybza)i+(zaxb−zbxa)j+(xayb−xbya)k $$\begin{array}{ccc}\mathbf{a}& =& x_a\mathbf{i}+y_a\mathbf{j}+z_a\mathbf{k}\\ \mathbf{b}& =& x_b\mathbf{i}+y_b\mathbf{j}+z_b\mathbf{k}\\ \mathbf{a}\cdot \mathbf{b}& =& x_a{x}_b+y_a{y}_b+z_a{z}_b\\ \mathbf{a}\times \mathbf{b}& =& (y_a{z}_b-y_b{z}_a)\mathbf{i}+(z_a{x}_b-z_b{x}_a)\mathbf{j}+(x_a{y}_b-x_b{y}_a)\mathbf{k}\end{array}$$

  可得：

[sa,a][sb,b]=[sasb−a⋅b,sab+sba+a×b] $$[s_a,\mathbf{a}][s_b,\mathbf{b}]=[s_a{s}_b-\mathbf{a}\cdot \mathbf{b},s_a\mathbf{b}+s_b\mathbf{a}+\mathbf{a}\times \mathbf{b}]$$

  上式是四元數乘法的通用表達式。

5.4 實四元數

  實四元數是帶有 0 $\mathbf{0}$向量的四元數。

q=[s,0] $$q=[s,\mathbf{0}]$$

  兩個實四元數的乘積是另一個實四元數。

qaqbqaqb====[sa,0][sb,0][sa,0][sb,0][sasb,0] $$\begin{array}{ccc}{q}_a& =& [s_a,\mathbf{0}]\\ q_b& =& [s_b,\mathbf{0}]\\ q_a{q}_b& =& [s_a,\mathbf{0}][s_b,\mathbf{0}]\\ & =& [s_a{s}_b,\mathbf{0}]\end{array}$$

  這類似於兩個虛部爲0的複數的乘法：

z1z2z1z−2====a1+0ia2+0i(a1+0i)(a+2+0i)a1a2 $$\begin{array}{ccc}{z}_1& =& a_1+0i\\ z_2& =& a_2+0i\\ z_{1}z-2& =& (a_1+0i)(a+2+0i)\\ & =& a_1{a}_2\end{array}$$

5.5 四元數與標量乘法

  四元數與標量的乘法遵守如下規則：

qλq===[s,v]λ[s,v][λs,λv] $$\begin{array}{ccc}q& =& [s,\mathbf{v}]\\ \lambda q& =& \lambda [s,\mathbf{v}]\\ & =& [\lambda s,\lambda \mathbf{v}]\end{array}$$

  可以通過將標量視爲一個實四元數的形式來驗證：

qλλq====[s,v][λ,0][λ,0][s,v][λs,λv] $$\begin{array}{ccc}q& =& [s,\mathbf{v}]\\ \lambda & =& [\lambda ,\mathbf{0}]\\ \lambda q& =& [\lambda ,\mathbf{0}][s,\mathbf{v}]\\ & =& [\lambda s,\lambda \mathbf{v}]\end{array}$$

5.6 純四元數

  與實四元數類似，Hamiltion將純四元數定義爲標量部分爲0的四元數。

q=[0,v] $$q=[0,\mathbf{v}]$$

  或寫成分量形式：

q=xi+yj+zk $$q=xi+yj+zk$$

  可以執行兩個純四元數的乘法如下：

qaqbqaqb====[0,a][0,b][0,a][0,b][−a⋅b,a×b] $$\begin{array}{ccc}{q}_a& =& [0,\mathbf{a}]\\ q_b& =& [0,\mathbf{b}]\\ q_a{q}_b& =& [0,\mathbf{a}][0,\mathbf{b}]\\ & =& [-\mathbf{a}\cdot \mathbf{b},\mathbf{a}\times \mathbf{b}]\end{array}$$

5.7 四元數的加法形式

  可以將任意四元數表示成一個實四元數與一個純四元數的加法：

q==[s,v][s,0]+[0,v] $$\begin{array}{ccc}q& =& [s,\mathbf{v}]\\ & =& [s,\mathbf{0}]+[0,\mathbf{v}]\end{array}$$

5.8 單位四元數

  對任意一個矢量 v $\mathbf{v}$,可以將其表示成它的標量模和它的方向：

v=vv^ where v=|v| and |v^|=1 $$\mathbf{v}=v\hat{\mathbf{v}}wherev=|\mathbf{v}|and|\hat{\mathbf{v}}|=1$$

  將純四元數的概念與上式相結合，可得：

q===[0,v][0,vv^]v[0,v^] $$\begin{array}{ccc}q& =& [0,\mathbf{v}]\\ & =& [0,v\hat{\mathbf{v}}]\\ & =& v[0,\hat{\mathbf{v}}]\end{array}$$

  單位四元數是標量部分爲0，且矢量部分是單位向量的四元數。

q^=[0,v^] $$\hat{q}=[0,\hat{\mathbf{v}}]$$

5.9 四元數的二元形式

  將單位四元數與四元數的加法形式相結合，可以得到一種類似於複數表現形式的表示四元數的方式：

q====[s,v][s,0]+[0,v][s,0]+v[0,v^]s+vq^ $$\begin{array}{ccc}q& =& [s,\mathbf{v}]\\ & =& [s,\mathbf{0}]+[0,\mathbf{v}]\\ & =& [s,\mathbf{0}]+v[0,\hat{\mathbf{v}}]\\ & =& s+v\hat{q}\end{array}$$

  上式提供了一種類似於複數表示方式的方法來表示四元數：

zq==a+bis+vq^ $$\begin{array}{ccc}z& =& a+bi\\ q& =& s+v\hat{q}\end{array}$$

5.10 共軛四元數
  共軛四元數可以通過將矢量部分取反得到：

qq∗==[s,v][s,−v] $$\begin{array}{ccc}q& =& [s,\mathbf{v}]\\ q^{\ast }& =& [s,-\mathbf{v}]\end{array}$$

  一對共軛四元數的乘積：

qq∗====[s,v][s,−v][s2−v⋅−v,−sv+sv+v×−v][s2+v⋅v,0][s2+v2,0] $$\begin{array}{ccc}q{q}^{\ast }& =& [s,\mathbf{v}][s,-\mathbf{v}]\\ & =& [s^2-\mathbf{v}\cdot \mathbf{-}\mathbf{v},-s\mathbf{v}+s\mathbf{v}+\mathbf{v}\times \mathbf{-}\mathbf{v}]\\ & =& [s^2+\mathbf{v}\cdot \mathbf{v},\mathbf{0}]\\ & =& [s^2+v^2,\mathbf{0}]\end{array}$$

5.11 四元數的範數

  類似於複數的範數的計算方式：

|z|zz∗==a2+b2−−−−−−√|z|2 $$\begin{array}{ccc}|z|& =& \sqrt{a^2+b^2}\\ z{z}^{\ast }& =& {|z|}^2\end{array}$$

  四元數的範數或模的計算方法定義如下：

q|q|==[s,v]s2+v2−−−−−−√ $$\begin{array}{ccc}q& =& [s,\mathbf{v}]\\ |q|& =& \sqrt{s^2+v^2}\end{array}$$

  四元數的範數可表示成：

qq∗=|q|2 $$q{q}^{\ast }={|q|}^2$$

5.12 四元數歸一化

  可以使用四元數的範數來對四元數進行歸一化。四元數的歸一化是指四元數除以它的模 |q| $|q|$：

q′=qs2+v2−−−−−−√ $$q^{\mathrm{\prime }}=\frac{q}{\sqrt{s^2+v^2}}$$

  例子：歸一化以下四元數：

q=[1,4i+4j−4k] $$q=[1,4\mathbf{i}+4\mathbf{j}-4\mathbf{k}]$$

  首先，計算該四元數的模：

|q|===12+42+42+(−4)2−−−−−−−−−−−−−−−−√49−−√7 $$\begin{array}{ccc}|q|& =& \sqrt{1^2+4^2+4^2+(-4{)}^2}\\ & =& \sqrt{49}\\ & =& 7\end{array}$$

  然後，將四元數除以它的模，得到歸一化的四元數：

q′===q|q|1+4i+4j−4k717+47i+47j−47k $$\begin{array}{ccc}{q}^{\mathrm{\prime }}& =& \frac{q}{|q|}\\ & =& \frac{1+4\mathbf{i}+4\mathbf{j}-4\mathbf{k}}{7}\\ & =& \frac{1}{7}+\frac{4}{7}\mathbf{i}+\frac{4}{7}\mathbf{j}-\frac{4}{7}\mathbf{k}\end{array}$$

5.13 四元數的逆

  四元數的逆記爲 q−1 $q^{-1}$。四元數的逆等於該四元數的共軛四元數除以模的平方：

q−1=q∗|q|2 $$q^{-1}=\frac{q^{\ast }}{|q{|}^2}$$

  證明過程如下：

qq−1=[1,0]=1 $$q{q}^{-1}=[1,0]=1$$

  兩邊同時乘以共軛四元數：

q∗qq−1=q∗ $$q^{\ast }q{q}^{-1}=q^{\ast }$$

  代入後可得：

|q|2q−1=q∗ $$|q{|}^2{q}^{-1}=q^{\ast }$$

q−1=q∗|q|2 $$q^{-1}=\frac{q^{\ast }}{|q{|}^2}$$

  對於單位模長的四元數其模長爲1，那麼：

q−1=q∗ $$q^{-1}=q^{\ast }$$

5.14 四元數的點乘

  類似於複數的點乘，四元數的點乘可以按如下規則計算：

q1=[s1,x1i+y1j+z1k] $$q_1=[s_1,x_1\mathbf{i}+y_1\mathbf{j}+z_1\mathbf{k}]$$

q2=[s2,x2i+y2j+z2k] $$q_2=[s_2,x_2\mathbf{i}+y_2\mathbf{j}+z_2\mathbf{k}]$$

q1⋅q2=s1s2+x1x2+y1y2+z1z2 $$q_1\cdot q_2=s_1{s}_2+x_1{x}_2+y_1{y}_2+z_1{z}_2$$

  可以使用四元數的點乘來求兩個四元數之間的夾角：

cosθ=s1s2+x1x2+y1y2+z1z2|q1||q2|