《視覺SLAM十四講》學習系列（2）—三維空間剛體運動

《視覺SLAM十四講》學習系列（2）—三維空間剛體運動

• 視覺SLAM十四講學習系列2三維空間剛體運動
  • 基礎數學知識
    • 標準正交基
    • 反對稱矩陣
    • 正交矩陣
  • 旋轉矩陣
    • 座標系間的歐氏變換
    • 變換矩陣與齊次座標
  • 旋轉向量
  • 歐拉角
  • 四元數
    • 定義與基本運算
      • 加法和減法
      • 乘法
      • 共軛
      • 模長
      • 逆
      • 數乘與點乘
    • 用四元數表述旋轉
    • 四元數到旋轉矩陣的轉換
  • 各種表示方式的比較
  • 相似仿射射影變換

本文主要內容來自《視覺SLAM十四講》第三講-三維空間剛體運動。介紹SLAM中的一個基本問題：剛體在三維空間中的運動如何描述。在書中介紹了四種方法：旋轉矩陣、旋轉向量、歐拉角和四元數。

基礎數學知識

標準正交基

在線性代數中，一個內積空間的正交基（orthogonal basis）是元素兩兩正交的基。稱基中的元素爲基向量。假若，一個正交基的基向量的模長都是單位長度1，則稱這正交基爲標準正交基。

反對稱矩陣

對於三維空間中的向量 a,b ，外積可用來描述 a 到 b 之間是如何選擇的，其中外積的方向即爲旋轉矩陣的方向。外積也可寫成：
a×b=⎡⎣⎢ia1b1ja2b2ka3b3⎤⎦⎥=⎡⎣⎢0a3−a2−a30a1a2−a10⎤⎦⎥b(2)
將上述過程記爲 a ^ b ，其中^爲反對稱符號。將外積 a×b 轉爲 a ^ b ，在運算時即可轉爲矩陣運算，有利於提高計算機處理效率，類似情況在接下來的部分中還將多次出現。

正交矩陣

正交矩陣即逆爲自身轉置的矩陣。

旋轉矩陣

座標系間的歐氏變換

相機運動時一個剛體運動，即同一個在各個座標系下的長度和夾角都不會發生變化，這類變換稱爲歐式變換。這樣的歐式變換由一個旋轉和一個平移組成。設某個單位正交基 (e1,e2,e3) 經過一次旋轉後變成了 (e′′1,e′′2,e′′3) ，同一向量 a 的座標有以下關係：

[e1,e2,e3]⎡⎣⎢a1a2a3⎤⎦⎥=[e′′1,e′′2,e′′3]⎡⎣⎢a′′1a′′2a′′3⎤⎦⎥

左乘 [e1,e2,e3]T 後有

⎡⎣⎢⎢eT1e1eT2e1eT3e1eT1e2eT2e2eT3e2eT1e3eT2e3eT3e3⎤⎦⎥⎥⎡⎣⎢a1a2a3⎤⎦⎥=⎡⎣⎢⎢eT1e′′1eT2e′′1eT3e′′1eT1e′′2eT2e′′2eT3e′′2eT1e′′3eT2e′′3eT3e′′3⎤⎦⎥⎥⎡⎣⎢a′′1a′′2a′′3⎤⎦⎥

⎡⎣⎢100010001⎤⎦⎥⎡⎣⎢a1a2a3⎤⎦⎥=⎡⎣⎢⎢eT1e′′1eT2e′′1eT3e′′1eT1e′′2eT2e′′2eT3e′′2eT1e′′3eT2e′′3eT3e′′3⎤⎦⎥⎥⎡⎣⎢a′′1a′′2a′′3⎤a′′2a′′3⎤⎦⎥

⎡⎣⎢a1a2a3⎤⎦⎥′′3 ⎤⎦⎥

⎡⎣⎢a1a2a3⎤⎦⎥=⎡⎣⎢⎢⎡⎣⎢