一道遊戲設計趣題

題目

前兩天好基友乘坐飛機去外地開年會，估計公司怕他們坐飛機實在太無聊，給他們搞了幾道思考題。

在此我分享一下這道題目，以及答題思路。請先看題目內容。我直接上圖片了，真的懶得打字呀~~~。

接下來分享一下解題思路：

首先想到的是最直接的方法，找出各類分類，並累加各類分類模式的總數便可。

對於5種兵種，其形式可分爲：

1 1 1 1 1 （陣容爲同樣一個）     對此形式總數爲 1 ，從5個兵種中取出5個兵種， 組合數爲C55.

5             （陣容爲同一兵種）     對此形式總數爲5 ，從5個兵種中取出1個兵種，組合數爲C51.

2 2 1       （2個某兵種，2個某其餘兵種，1個某其餘兵種） 對此形式總數爲 30，組合數爲C51 * C41 * C31 / 2. （這裏須要除以2 ，要去除221中22引發的重複）

2 3          （請腦補）對此形式總數爲20，組合數爲C51 * C41.

1 4          （請腦補） 對此形式總數爲20，組合數爲C51 * C41.

1 1 1 2    （請腦補）對此形式總數爲20，組合數爲C51 * C41 * C31 * C21 / 6.（這裏須要除以6 ，要去除1112中111引發的重複）

1 3 1       （請腦補）對此形式總數爲30，組合數爲C51 * C41 * C31 /2. （這裏須要除以2 ，要去除131中1 1引發的重複）

一共爲 1 + 5 + 30 + 30 + 20 + 20 + 20 = 126.

擴展

理論上此題目已經解決，可是尚未抽取出能夠擴展的規律。也就是說還有找到解決問題的通式。進一步思考，想到了高中時學習的插空法。嗯，可用此法優化解題思路。

5個兵種槽位之間有4個空，插空即便將槽位進行分類。分類方式爲插零個空C40(不分),插一個空C41（分紅兩部分），兩個空C42（分紅三部分），三個空C43（分紅四部分），四個空C44（分紅五部分）。

以分紅兩部分爲例：

C41 * C52 ：C52的意思爲從5個兵種中任取2個兵種。將兩個兵種分配到C41個槽模式下，總數爲40.

最終總數爲：

C40*C51 + C41*C52 + C42*C53 + C43*C54 + C44*C55 =  5 + 40 + 60 + 20 + 1 = 126  (1)

再次擴展

將組合式(1)進行以下變換獲得組合式（2）

C44*C51 + C43*C52 + C42*C53 + C41*C54 + C40*C55 (2)  

組合式（2）能夠縮寫爲  並可改寫爲C95，9 爲（5 - 1） + 5 也就是槽數 -1 + 兵種數，5 爲 兵種數。

因此相似問題都可用一個組合數來表示。妙哉！~ 擴展公式爲 n爲兵種槽數，m爲兵種數

 

最後，我基友告訴我其實我推出了一個 公式。。。。

容許重複組合

還有一個巧妙的思路，能夠直接得出C94的答案，在這裏我就不介紹了，方法總比問題多，僅在這裏拋磚引玉，若是錯誤請你們批評指正。謝謝。