四元數

時間 2019-12-07

標籤四元數简体版

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做者：Yang Eninala
連接：http://www.zhihu.com/question/23005815/answer/33971127
來源：知乎
著做權歸做者全部，轉載請聯繫做者得到受權。
最近在使用九軸陀螺儀，裏面有加速度角速度磁場四元數等。百度查了下四元數，特此記錄一下。數組

根據個人理解，大多數人用漢密爾頓四元數就只是作三維空間的旋轉變換（我反正沒見過其餘用法）。那麼你不用學羣論，甚至不用複習線性代數，看我下面的幾張圖就能夠了。

首先，定義一個你須要作的旋轉。旋轉軸爲向量

，旋轉角度爲 $\theta$ （右手法則的旋轉）。以下圖所示：
此圖中 $v=(\frac{1}{\sqrt{14} } ,\frac{2}{\sqrt{14} } ,\frac{3}{\sqrt{14} })$ , $\theta =\frac{\pi }{3}$

那麼與此相對應的四元數（下三行式子都是一個意思，只是不一樣的表達形式）
$q=(cos(\frac{\theta }{2} ),sin(\frac{\theta }{2} )*vx,sin(\frac{\theta }{2} )*vy,sin(\frac{\theta }{2} )*vz)$
$q=(cos(\frac{\pi }{6} ),sin(\frac{\pi }{6} )*\frac{1}{\sqrt{14} } ,sin(\frac{\pi }{6} )*\frac{2}{\sqrt{14} },sin(\frac{\pi }{6} )*\frac{3}{\sqrt{14} })$
$q=cos(\frac{\pi }{6} )+sin(\frac{\pi }{6} )*\frac{1}{\sqrt{14} }i +sin(\frac{\pi }{6} )*\frac{2}{\sqrt{14} }j+sin(\frac{\pi }{6} )*\frac{3}{\sqrt{14} }k$

這時它的共軛（下三行式子都是一個意思，只是不一樣的表達形式），
$q^{-1} =(cos(\frac{\theta }{2} ),-sin(\frac{\theta }{2} )*vx,-sin(\frac{\theta }{2} )*vy,-sin(\frac{\theta }{2} )*vz)$
$q^{-1} =(cos(\frac{\pi }{6} ),-sin(\frac{\pi }{6} )*\frac{1}{\sqrt{14} } ,-sin(\frac{\pi }{6} )*\frac{2}{\sqrt{14} },-sin(\frac{\pi }{6} )*\frac{3}{\sqrt{14} })$
$q^{-1} =cos(\frac{\pi }{6} )-sin(\frac{\pi }{6} )*\frac{1}{\sqrt{14} }i -sin(\frac{\pi }{6} )*\frac{2}{\sqrt{14} }j-sin(\frac{\pi }{6} )*\frac{3}{\sqrt{14} }k$

若是你想算一個點

在這個旋轉下新的座標 $w^{'}$ ,須要進行以下操做，
1.定義純四元數

2.進行四元數運算
$qw^{'} =q*qw*q^{-1}$
3.產生的 $qw^{'}$ 必定是純四元數，也就是說它的第一項爲0，有以下形式：
$qw^{'} =(0,wx^{'},wy^{'},wz^{'})=0+wx^{'}*i+wy^{'}*j+wz^{'}*k$
4. $qw^{'}$ 中的後三項 $(wx^{'},wy^{'},wz^{'})$ 就是 $w^{'}$ ：
$w^{'} =(wx^{'},wy^{'},wz^{'})$
這樣，就完成了一次四元數旋轉運算。

同理，若是你有一個四元數：
$q=(q1,q2,q3,q4)=(cos(\frac{\theta }{2} ),sin(\frac{\theta }{2} )*vx,sin(\frac{\theta }{2} )*vy,sin(\frac{\theta }{2} )*vz)$
那麼，它對應一個以向量

爲軸旋轉 $\theta$ 角度的旋轉操做（右手法則的旋轉）。

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若是你想對四元數有着更深刻的瞭解，請往下看。

四元數由漢密爾頓發明，這一發明起源於十九世紀的某一天。在這一天早上，漢密爾頓下樓吃早飯。這時他的兒子問他，「爸爸，咱們可以對三元數組（triplet，能夠理解爲三維向量）作乘法運算麼？」漢密爾頓說「不行，我只能加減它們。」

這時來自21世紀的旁白旁先生說，「你們快來看十九世紀的數學家有多二，連內積和外積都不是知道。」

十九世紀的漢密爾頓也許確實不知道內積和外積，可是他知道，他想要的三維向量乘法要比內積和外積運算「高大上」不少。這一乘法運算要知足下列四條性質：
1.運算產生的結果也要是三維向量
2.存在一個元運算，任何三維向量進行元運算的結果就是其自己
3.對於任何一個運算，都存在一個逆運算，這兩個運算的積是元運算
4.運算知足結合律

換而言之，漢密爾頓想定義的不是一個簡單的映射關係，而是一個羣！（後來咱們知道四元數所在羣爲S3，而四元數所表明的三維旋轉是SO(3)，前者是後者的兩倍覆蓋）內積連性質1都不知足，外積不知足性質3。

漢密爾頓先生就這麼被本身兒子提出的問題難倒了。經歷了無數個日日夜夜，他絞盡腦汁也沒想明白這個問題。終於有一天（1843年的一天），漢密爾頓先生終於意識到了，本身所須要的運算在三維空間中是不可能實現的，但在四維空間中是能夠的，他是如此的興奮，以致於把四元數的公式刻在了愛爾蘭的一座橋上。

旁白：「WTF，我讓你講三維物體的旋轉，你給我扯到四維空間上去。」

（不加說明，如下所說四元數全爲單位四元數）
其實，四元數有四個變量，徹底能夠被看做一個四維向量。單位四元數（norm=1）則存在於四維空間的一個球面上。 $q_{a}q_{b}$ ，四元數 $q_{a}$ 乘以四元數 $q_{b}$ 其實看做（1）對 $q_{a}$ 進行 $q_{b}$ 左旋轉，或者（2）對 $q_{b}$ 進行 $q_{a}$ 右旋轉。因此從始至終，四元數定義的都是四維旋轉，而不是三維旋轉！任意的四維旋轉均可以惟一的拆分爲一個左旋轉和一個右旋轉，表達出來就是 $q_{_{L}}pq_{_{R}}$ 。這裏，咱們對四元數（四維向量）

進行了一個 $q_{_{L}}$ 左旋轉和一個 $q_{_{R}}$ 右旋轉。結果固然是一個四元數，符合性質1。這個運算也同時符合性質2，3，4。

好了，說完了四維旋轉，咱們終於能夠說說三維旋轉了。說白了，三維旋轉就是四維旋轉的一個特例，就像二維旋轉是三維旋轉的一個特例同樣。說是特例其實不許確，準確的說是一個子集或者subgroup。爲了進行三維旋轉運算，漢密爾頓首先在四維空間裏劃出了一塊三維空間。漢密爾頓定義了一種純四元數（pure quaternion），其表達式爲

。純四元數第一項爲零，它存在於四維空間的三維超平面上，與三維空間中的三維向量一一對應。而後，就有了咱們常見的 $q*qw*q^{-1}$ 這種左乘單位四元數，右乘其共軛的表達式。我真心不知道漢密爾頓是怎麼想出來的，不過回過頭來看，這個運算形式是爲了限制其運算結果所在的空間。簡單的說，當對一個三維向量進行三維旋轉後，咱們但願獲得的是一個三維向量。（若是你真能獲得一個四維向量，就不敢本身在家轉圈圈了吧，轉着轉着，就進入四次元了！）那麼這個左乘單位四元數，右乘其共軛的運算保證告終果是一個在三維超平面上中的純四元數。

把左乘和右乘表達爲矩陣形式會讓咱們看的更清楚一些。依照

的定義， $q*qw*q^{-1}$ 的矩陣形式爲
$\left[ \begin{array}{ c c c c} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & q_{1}^2+q_{2}^2-q_{3}^2-q_{4}^2 & 2q_{2}q_{3}-2q_{1}q_{4} & 2q_{2}q_{4}+2q_{1}q_{3} \\ 0& 2q_{2}q_{3}+2q_{1}q_{4} & q_{1}^2-q_{2}^2+q_{3}^2-q_{4}^2 & 2q_{3}q_{4}-2q_{1}q_{2} \\ 0 & 2q_{2}q_{4}-2q_{1}q_{3} & 2q_{3}q_{4}+2q_{1}q_{2} & q_{1}^2-q_{2}^2-q_{3}^2+q_{4}^2 \end{array} \right] \left[ \begin{array}{ c } 0\\ wx\\ wy\\ wz \end{array} \right]$
很明顯，前面的矩陣雖然是一個4x4的四維旋轉矩陣，可是它只是在右下角3x3的區域內和一個單位矩陣有所不一樣。因此說，它是一個限制在三維超平面上的四維旋轉。若是表達式右邊不是共軛，而是任意四元數，那麼咱們所做的就是一個很普通的四維旋轉。若是隻是左乘一個單位四元數，右邊什麼都不乘，那麼咱們獲得的是四維旋轉的一個子集，這個子集並不能保證結果限制在三維超平面上。若是隻右乘，不左乘也是同樣同樣的。

說了這麼多，對於堅持到最後的你，上圖一幅，以表感謝。

其實這張圖解釋了一個長久的疑問。爲何四元數 $q=(cos(\frac{\theta }{2} ),sin(\frac{\theta }{2} )*vx,sin(\frac{\theta }{2} )*vy,sin(\frac{\theta }{2} )*vz)$ 裏用的是 $\frac{\theta }{2}$ 而不是 $\theta$ 。這是由於

作的就是一個 $\frac{\theta }{2}$ 的旋轉，而 $q^{-1}$ 也作了一個 $\frac{\theta }{2}$ 的旋轉。咱們進行了兩次旋轉，而不是一次，這兩次旋轉的結果是一個旋轉角爲 $\theta$ 的旋轉。

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