復旦大學2018--2019學年第一學期（18級）高等代數I期末考試第八大題解答

8、(本題10分)  設 $A,B$ 爲 $n$ 階實方陣, 使得 $A'B$ 是反對稱陣. 證實: $$r(A'B)\leq r(A)+r(B)-r(A+B),$$ 並肯定等號成立的充要條件.

證實  咱們提供如下兩種證法.

幾何證法  記 $V_A\subseteq\mathbb{R}^n$ 爲線性方程組 $Ax=0$ 的解空間, $V_B,V_{A+B},V_{A'B}$ 的意義相同. 由 $A'B$ 是反對稱陣可得 $A'B+B'A=0$, 從而 $(A+B)'(A+B)=A'A+B'B$. 對任一 $\alpha\in V_{A+B}$, 即 $(A+B)\alpha=0$, 咱們有 $$0=\alpha'(A+B)'(A+B)\alpha=\alpha'A'A\alpha+\alpha'B'B\alpha.$$ 注意到 $\alpha'A'A\alpha=(A\alpha)'(A\alpha)$ 是實列向量 $A\alpha$ 的全部份量的平方和, 它大於等於 $0$, 且等於 $0$ 當且僅當 $A\alpha=0$, 所以由上式可知 $A\alpha=B\alpha=0$, 即 $\alpha\in V_A\cap V_B$, 從而 $V_{A+B}\subseteq V_A\cap V_B$. 另外一方面, 顯然有 $V_A\cap V_B\subseteq V_{A+B}$, 因而 $V_{A+B}=V_A\cap V_B$. 對任意的 $\alpha\in V_B$, 顯然有 $A'B\alpha=0$, 從而 $\alpha\in V_{A'B}$, 即有 $V_B\subseteq V_{A'B}$. 因爲 $A'B=-B'A$, 故對任意的 $\alpha\in V_A$, $A'B\alpha=-B'A\alpha=0$, 從而 $\alpha\in V_{A'B}$, 即有 $V_A\subseteq V_{A'B}$, 因而 $V_A+V_B\subseteq V_{A'B}$. 所以 $$n-r(A'B)=\dim V_{A'B}\geq \dim(V_A+V_B)=\dim V_A+\dim V_B-\dim(V_A\cap V_B)$$$$=\dim V_A+\dim V_B-\dim V_{A+B}=n-r(A)+n-r(B)-(n-r(A+B)),$$ 由此即得 $r(A'B)\leq r(A)+r(B)-r(A+B)$, 等號成立當且僅當 $V_{A'B}=V_A+V_B$.

代數證法  考慮以下分塊矩陣的乘法: $$\begin{pmatrix} I_n & I_n \\ 0 & I_n \\ \end{pmatrix}\begin{pmatrix} A' & 0 \\ 0 & B' \\ \end{pmatrix}\begin{pmatrix} I_n & B \\ I_n & A \\ \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} (A+B)' & 0 \\ B' & -A'B \\ \end{pmatrix}.$$ 由矩陣秩的基本等式和不等式可知 $$r(A)+r(B)=r\begin{pmatrix} A' & 0 \\ 0 & B' \\ \end{pmatrix}\geq r\begin{pmatrix} (A+B)' & 0 \\ B' & -A'B \\ \end{pmatrix}\geq r(A+B)+r(A'B),$$ 這就是要證的不等式.  $\Box$

注  (1) 本題的兩種證法與高代白皮書例 3.71 的代數證法和幾何證法徹底相似, 本題也和 16 級高代 I 期末考試第七大題有着密切的聯繫. 在本題的代數證法中, 給出等號成立的充要條件比較複雜，遠沒有幾何證法給出的那麼簡單直接, 具體如何給出, 形式如何, 有興趣的同窗能夠參考 15 級高代 I 期末考試第七大題和 16 級高代 I 每週一題第 13 題.

(2)  本題作對 (得分 7 分以上) 的同窗共有 18人, 名單以下:

幾何證法: 王捷翔 (8'), 宋雨芙 (7'), 封清 (9'), 謝永樂 (8'), 周子翔 (8'), 丁思成 (7'), 劉一川 (8'), 周爍星 (10');

代數證法: 鄒年軼 (7'), 唐逸揚 (7'), 趙界清 (7'), 葉雨陽 (7'), 鄭文琛 (7'), 陳宇傑 (8'), 黃澤鬆 (7'), 張思哲 (7'), 張哲維 (7'), 劉羽 (7').

(3)  本題還能夠改編成以下形式:  

一、設 $A,B$ 爲 $n$ 階實方陣, 使得 $A'B$ 是非零反對稱陣. 證實: $r(A)+r(B)-r(A+B)\geq 2$.

二、設 $A,B$ 爲 $n$ 階實方陣, 使得 $A'B$ 是反對稱陣, 且知足 $r(A)+r(B)-r(A+B)=1$, 證實: $A'B=0$.