基於估計的無約束預測控制 算法
1.引言 框架
基本上這兩個部分都是在線性理論的框架下，利用狀態空間法來建模、求解控制律。狀態空間模型在理論分析上具備很強的優越性，但實際應用中能直接準確且經濟地獲取系統狀態並不容易。有些狀態，尤爲是溫度(如火箭噴口溫度等)只能間接估計，所以咱們可使用狀態觀測器來重構一個易於實現的系統來模擬原系統的狀態。 性能
具體的作法是，先利用原系統能夠測量的變量，如系統可測輸入輸出，使得在必定條件下知足估計的狀態與原狀態漸進等價，隨後利用觀測器重構的系統設計控制律。 優化
觀測器收斂條件 spa
在設計觀測器的時候，首先要判斷是否存在觀測器。這裏以全維觀測器爲例，觀測器重構系統與原系統維度相同。設系統可測量輸出爲： 設計
設計以下估計器： 3d
若估計器的矩陣對（A，Cm）可測，即所有不能觀陣型穩定，則狀態觀測器存在，能夠經過設計L矩陣使（A-LCm）漸進穩定來達到觀測器收斂條件。進一步，若（A，Cm）能觀，即所有模態在輸出端可測，還能夠經過設計L任意配置（A-LCm）的極點來控制估計偏差的衰減速度，道理和任意配置系統極點設計狀態反饋控制器是同樣的，兩個問題是對偶關係。 blog
2.算法設計 數學
基於估計的算法和原算法基本相同，只是能利用的只有測量值ym和估計值。在預測過程當中，用估計值做爲預測系統將來狀態的起點： class
獲得的預測方程、控制律均與以前相同：
Ep用到的是估計值，估計值是由測量值代入估計器公式獲得。而估計的狀態又帶入Yp與參考R作平方差造成MSE偏差看成待優化值，所以必定要保證L的設計良好才能夠實現算法。
3.閉環系統分析
僅對穩定性進行分析，其他包括抗干擾性能和無靜差跟蹤性能與無約束預測控制相同。
考慮可測和不可測偏差，被控系統以下：
這裏已經將Δu(k)帶入，注意這裏是原系統，咱們用由估計器設計出來的控制律做用到了原系統上（估計器只是爲了模擬原系統行爲來得到原來很難得到的狀態）。並且，在引入了估計器以後，系統變得更加複雜了，基於估計設計的控制律可否控制原系統，新的系統可否穩定都是須要分析的。
將ym(k)=Cmx(k)和控制律帶入估計器：
如今從新定義帶狀態觀測器系統的狀態向量：
則：
新的系統矩陣爲：
爲了知足控制系統設計的基本要求，即名義漸進穩定。咱們必須設計控制器讓一個標稱系統在控制輸入的做用下漸進穩定。標稱系統（也叫名義系統）是沒有任何外部擾動和模型失配的理想系統，與名義穩定相對的是魯棒穩定。要達到名義穩定須要讓這個新的系統矩陣的全部特徵根的模長小於一。咱們須要驗證這個無約束MPC閉環系統是否知足分離原理。
咱們但願能將系統知足分離原理，這樣意味着閉環系統的極點由原系統在控制律做用下的極點和估計器的極點組成，狀態觀測器（估計器）的引入對原系統在控制律做用下的極點不影響，這樣就能夠分別獨立設計兩個系統的極點。只要兩個子系統的極點都達到穩定要求，整合起來的新系統也知足穩定要求。
按道理來說，基於觀測器反饋控制的線性系統是知足分離原理的。以前咱們獲得的MPC控制律也能夠看做一種狀態反饋控制律，如今來驗證一下是否真的知足分離原理。爲此，咱們但願找到一個代數等價的系統，這個系統的系統矩陣是個廣義上三角矩陣，且對角線上的元素正好分別是原系統在控制律做用下的系統矩陣（參考上一篇結果）和觀測器的系統矩陣（A-LCm）。
咱們知道，系統的狀態變量是人爲選擇的，一個系統能夠定義不一樣狀態。同一個系統能夠有不少基於狀態空間描述的數學模型。但對於一個系統，不一樣的狀態之間有着明確的數學變換關係，即非奇異線性變換關係：
存在一個可逆矩陣P，知足x1 = Px2。
由於狀態須要徹底表徵系統動力學行爲，因此不一樣的狀態卻包含相同的系統信息，天然知足線性變換的關係。反過來利用這個性質，咱們能夠將已知狀態變換成其餘狀態，從而獲得系統新的數學描述，即新的狀態空間方程。咱們稱這樣新舊兩種系統（實際上是系統描述）是代數等價的。兩個代數等價系統的系統參數矩陣知足這樣的變換關係：
A2 = PA1P-1 B2 = PB1 C2=C1P-1 D2 = D1 , P爲適當階的可逆矩陣。
兩個代數等價的系統具備不少共有屬性，除了能控、能觀性以外，咱們須要用到的就是代數等價系統具備相同的特徵多項式和極點。爲此，咱們定義這樣的P矩陣，對由基於估計的MPC算法獲得的系統矩陣進行代數等價變形：
對原系統作類似變換：
上式中的A - BuKmpc(Sx + ICc ） 是狀態所有能夠測量時預測控制閉環系統的穩定性斷定矩陣而A - LCm 是狀態估計器的穩定性斷定矩陣．所以， 基於估計的預測控制閉環系統的極點由狀態所有可測時的控制器極點和狀態估計器的極點組成．也就是說， 對無約束MPC 閉環系統來講， 分離原理成立， 狀態反饋和估計器能夠獨設計．所以， 咱們能夠獲得結論：基於估計的無約束MPC 閉環系統名義漸近穩定， 當且僅當狀態反饋MPC 穩定和狀態估計器穩定。