羅爾定理、微分中值定理、廣義微分中值定理

若是一個到處可導的函數的圖像和一條水平直線交於不一樣的兩點（如圖所示），

那麼在這兩點間的函數圖像上至少存在一點處的切線平行於該水平直線（顯然也平行於x軸），這種現象能夠更嚴謹地表述爲羅爾定理（Rolle’s Theorem¹）：若是函數f(x)在[a,b]上連續，(a,b) 上可導，而且f(a)=f(b)，那麼至少存在一點c於(a,b)內使得f’(c)=0。

上面說到的平行關係在羅爾定理中是這樣體現的：由於f(a)=f(b)，因此(a,f(a))和(b,f(b))能夠肯定一條水平直線，由於f’(c)=0，因此函數f(x)在(c,f(c))處的切線也是一條水平直線，很顯然這兩條直線平行。

羅爾定理的證實要求的是關於導數等於0的結論，我想到的是：（1）若是f(x)是常數函數的話，那麼定義域內任意一點的導數都爲0；（2）可導的函數在極值點處導數爲0。因此這裏證實的難點是：若是f(x)不是常數函數，那麼該怎麼證實其有極值存在於(a,b)內呢？若能證實之，則羅爾定理得證。若是f(x)不是常數函數，由於f(x)在[a,b]上連續，那麼在該區間上面必然存在極大值和極小值，假設極大值和極小值均在端點處取得，再加上本定理的條件已經聲明f(x)在兩端點處的值相等（即f(a)=f(b)），可得出這種狀況下函數的極大值等於極小值，這樣的函數顯然是常數函數，這與開頭的假設「f(x)不是常數函數」相悖，因此f(x)不是常數函數狀況下其極大值和極小值不可能都在端點處取得——至少存在一個極值點於(a,b)內，又由於f(x)在 (a,b) 上可導，因此該處函數導數爲0。下面是個人證實過程：由於f(x)在[a,b]上連續，那麼在該區間上面必然存在極大值和極小值。其極值的分佈狀況只有兩種可能：（1）若f(x)的極值至少有一個在(a,b)內取得，設該極值點的橫座標爲c，由於f(x)在 (a,b) 上可導，因此有f’(c)=0；（2）若f(x)的極值均不在(a,b)內取得——極值均在端點處取得，這兩個極值分別是f(a)和f(b)，因爲本定理的條件中已經聲明f(x)在兩端點處的值相等（即f(a)=f(b)），可知函數的極大值等於極小值，這樣的函數顯然是常數函數，那麼於(a,b)內的任何一點c都有f’(c)=0。綜上，至少存在一點c於(a,b)內使得f’(c)=0，羅爾定理得證。

上面的證實思路和我分析問題的思路是有差異的，證實過程是對我分析問題的思路的整合與昇華，藉此順便一提：書上的證實過程未必和咱們解決問題的思路一致，諸位留意！

羅爾定理要求「函數f(x)在[a,b]上連續，(a,b) 上可導」，這兩個條件總讓我感受有些憋扭，由於f(x)在 (a,b) 上可導的話就必定可得出f(x)在 (a,b) 上連續，因而可把條件轉化爲「函數f(x)在(a,b) 上可導，在a、b兩點處連續」，但感受仍是不夠簡潔，爲何不直接把條件簡單地限制爲「函數f(x)在[a,b]上可導」呢？在這個條件下必定會有「函數f(x)在[a,b]上連續，(a,b) 上可導」，後來我想到不作這種簡化的緣由多是：函數在a、b兩端點處的導數多是+∞或-∞——不可導，在這種狀況下若是把「函數f(x)在[a,b]上連續，(a,b) 上可導」簡化成「函數f(x)在[a,b]上可導」就會使羅爾定理不適用於下面這種狀況²（該函數在-1和1處不可導）：

認識到這種情形以後，咱們能夠有一個適用範圍小一點但同時也更簡潔的羅爾定理：若是函數f(x)在[a,b]上可導，而且f(a)=f(b)，那麼至少存在一點c於(a,b)內使得f’(c)=0。

若是函數f(x)在[a,b]上不連續，那麼羅爾定理可能不成立，如圖所示：

若是函數f(x)在(a,b)上不可導，那麼羅爾定理可能不成立，如圖所示：

上面兩圖意在讓各位認識到羅爾定理的成立條件的必要性。

若一條直線和到處可導的函數f(x)的圖像交於(a,f(a))和(b,f(b))兩點，將該直線上下平移，那麼總存在該直線和函數f(x)的圖像相切的情形，

這種現象能夠更嚴謹地表述爲微分中值定理（亦稱拉格朗日中值定理，the mean value theorem of the differential calculus）：若是函數f(x)在[a,b]上連續，(a,b) 上可導，那麼至少存在一點c於(a,b)內使得\(f^{'}\left( c \right) = \frac{f(b) - \ f(a)}{b - a}\)。

微分中值定理能夠看做是羅爾定理旋轉後的情形³——可設想把知足羅爾定理的圖像旋轉一個角度後，那麼原來過(a,f(a))和(b,f(b))的水平直線變成了斜率爲\(\frac{f(b) - \ f(a)}{b - a}\)的直線，而那條切線始終與之平行，因此斜率（該點的導數）依然等於\(\frac{f(b) - \ f(a)}{b - a}\)。

微分中值定理也能夠用羅爾定理來證實，以下：

過(a,f(a))和(b,f(b))的直線的方程是\(g\left( x \right) = f\left( a \right) + \frac{f\left( b \right) - \ f\left( a \right)}{b - a}(x - a)\)，f(x)和g(x)的縱向差距可表示爲\(h\left( x \right) = f\left( x \right) - g\left( x \right) = f\left( x \right) - f\left( a \right) - \frac{f\left( b \right) - \ f\left( a \right)}{b - a}(x - a)\)，由於f(x)和g(x)的圖像在兩端點處相交，因此h(a)=h(b)=0，同時不可貴出h(x)在[a,b]上連續，(a,b) 上可導，因此h(x)知足羅爾定理，於是存在一點c於(a,b)內使得\(h’(c) = 0 = f'\left( c \right) - \frac{f\left( b \right) - \ f\left( a \right)}{b - a}\)，進而可得出\(f^{'}(c) = \frac{f\left( b \right) - \ f\left( a \right)}{b - a}\)，微分中值定理得證。

做爲微分中值定理的應用，咱們能夠考慮這樣一種情形：假如一輛車作變速運動，一小時行了20km，若是f(x)是車的位移函數、f(0)=0、f(1)=20，微分中值定理告訴咱們在這一小時內必然有一刻車速爲\(\frac{f\left( 1 \right) - \ f\left( 0 \right)}{1 - 0} = \frac{20 - 0}{1 - 0} = 20(km/h)\)。若是你對此仍懷疑，那麼請設想其反面：若這一小時內車速始終大於或小於20km/h會出現什麼狀況？……因此這一小時內車速絕對會有一刻爲20km/h。

對比一下微分中值定理和羅爾定理的差別，咱們不難發現微分中值定理能夠囊括羅爾定理的情形——微分中值定理中f(a)=f(b)的時候它便退化成了羅爾定理，也就是說微分中值定理具備更廣泛的適用範圍。如今讓咱們來看一個更廣義的微分中值定理⁴（亦稱柯西中值定理，Generalized Mean Value Theorem of the Differential Calculus）：若是f(x)和g(x)都在[a,b]上連續，(a,b) 上可導，那麼至少存在一點c於(a,b)內使得

\[\left\lbrack f\left( b \right) - f\left( a \right) \right\rbrack g^{'}\left( c \right) = \left\lbrack g\left( b \right) - g\left( a \right) \right\rbrack f^{'}\left( c \right).\]

若是在(a,b)上\(g^{'}\left( x \right) \neq 0\)，那麼有

\[\frac{f'(c)}{g^{'}\left( c \right)} = \frac{f(b) - f(a)}{g\left( b \right) - g\left( a \right)}.\]

爲何說該定理是更廣義的微分中值定理呢？微分中值定理就是上面這個等式中令g(x)=x的情形⁵。至於廣義微分中值定理的證實，咱們只用令\(h\left( x \right) = \left\lbrack f\left( b \right) - f\left( a \right) \right\rbrack g\left( x \right) - \left\lbrack g\left( b \right) - g\left( a \right) \right\rbrack f\left( x \right)\)，而後對其應用微分中值定理便不可貴證。

下一節我會講到洛必達法則（L’Hospital’s rule），我將向各位提供能夠理解掌握的、能從中吸收到有用經驗的∞/∞型洛必達法則的證實方法，敬請期待！

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1. Joel R. Hass, Christopher E. Heil, Maurice D. Weir ,Thomas’ calculus, 14^th^ edition, p191↩

2. Joel R. Hass, Christopher E. Heil, Maurice D. Weir ,Thomas’ calculus, 14^th^ edition, p193↩

3. Morris Kline, Calculus : an intuitive and physical approach, second edition, Chapter 13，Section 2↩

4. Stephen Abbott, Understanding Analysis, second edition, p158↩

5. 常慶哲、史濟懷，《數學分析教程》上冊（2003），p155↩