羅爾中值定理 拉格郎日中值定理

1.費馬引理

      

證實：設x屬於U(x0)    =>   f(x)<=f(x0)

         對 x+Δx屬於U(x0) => f(x+Δx)<= f(x0)

        當Δx>0時： [f(x0+Δx)-f(x0)]/Δx <= 0;

        當Δx<0時： [f(x0+Δx)-f(x0)]/Δx <= 0;

則有：

        

       

根據可導的條件：左導等於右導   因此f'(x0)=0;

2.羅爾定理

證實：

由於函數 f(x) 在閉區間[a,b] 上連續，因此存在最大值與最小值，分別用 M 和 m 表示，分兩種狀況討論：

1. 若 M=m，則函數 f(x) 在閉區間 [a,b] 上必爲常函數，結論顯然成立。

2. 若 M>m，則由於 f(a)=f(b) 使得最大值 M 與最小值 m 至少有一個在 (a,b) 內某點ξ處取得，從而ξ是f(x)的極值點，又條件 f(x) 在開區間 (a,b) 內可導得，f(x) 在 ξ 處取得極值，由費馬定理推知：f'(ξ)=0。

3.拉格朗日中值定理

 

證實：1.能夠從新構建一個座標系，使f(b) = f（a）  ,即轉化爲羅爾定理。

2.構造一個函數

輔助函數構造：

須要的元素 1.須要和f(x)相關   2.最好能含有  f(b)-f(a)/b-a的形式

                  3.函數a b 兩點的值相等

看一下幾何圖：f(x) - AB直線 ， 的值恰好能知足   好吧  就是你了  接下去直接求導使用羅爾定理就好了