讀書筆記: 博弈論導論 - 06 - 完整信息的靜態博弈混合的策略

時間 2019-11-10

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讀書筆記: 博弈論導論 - 06 - 完整信息的靜態博弈混合的策略

混合的策略

本文是Game Theory An Introduction (by Steven Tadelis) 的學習筆記。html

策略，信念和指望收益

混合策略
玩家i的有限純策略集合$S_i = {s_{i1}, s_{i2}, \cdots, s_{im}}$。
將$\Delta S_i$定義爲$S_i$的單純形，是在$S_i$上全部機率分佈的集合。
玩家i的一個混合策略(mixed strategy)是$\sigma_i \in \Delta S_i$，
\[ \sigma_i = (\sigma_i(s_{i1}), \sigma_i(s_{i2}), \cdots, \sigma_i(s_{im})) \\ where \\ \sigma_i(s_{i}) \text{ : the probability that player i plays s_{i}} \]

兩個明顯的條件:
\[ \sigma_i(s_{i}) \geq 0, \forall s_i \in S_i \\ \sum_{s_i \in S_i} \sigma_i(s_{i}) = 1 \]函數

$\Delta S_i$的例子：(rock-paper-scissor)
$\Delta S_i$ = {(\sigma_i(R), \sigma_i(P), \sigma_i(S)) : \sigma_i(R), \sigma_i(P), \sigma_i(S) \geq 0, \sigma_i(R) + \sigma_i(P) + \sigma_i(S) = 1}$
表示全部$(\sigma_i(R), \sigma_i(P), \sigma_i(S))$對，使得每一個值都大於等於0，而且每一個值的和爲1。學習
$\sigma(\dot)$支持策略$s_i$($s_i$ is in the support of $\sigma(\dot)$)
給定一個玩家i的混合策略$\sigma(\dot)$，若是$\sigma(s_i) > 0$，則稱$\sigma(\dot)$支持純策略$s_i$。ui
連續策略集的混合策略
玩家i的純策略集合$S_i$是一個值區間，則玩家i的一個混合策略是累積分佈函數$F_i : S_i \to [0, 1], \ where \ F_i(x) = Pr{s_i < x>}$。
若是$F_i(\dot)$在密度$f_i(\dot)$上可微分，而且$f_i(\dot) > 0$，則稱$F_i(\dot)$支持純策略$s_i$。spa
信念(belief)
信念$\pi_i \in \Delta S_{-i}$表明玩家i認爲對手採用$s_{-i} \in S_{-i}$的機率。htm
指望收益(Expected Payoffs)
玩家i選擇策略$s_i \in S_i$，而且對手選擇混合策略$\sigma_{-i} \ \Delta_{-i}$，的指望收益:
\[ v_i(s_i, \sigma_{-i}) = \sum_{s_{-i} \in S_{-i}} \sigma_{-i}(s_{-i}) v_i(s_i, s_{-i}) \]
玩家i選擇混合策略$\sigma_i \in \Delta S_i$，而且對手選擇混合策略$\sigma_{-i} \ \Delta_{-i}$，的指望收益:
\[ v_i(\sigma_i, \sigma_{-i}) = \sum_{s_{i} \in S_{i}} \sigma_{i}(s_{i}) v_i(s_i, s_{-i}) = \sum_{s_i \in S_i} ( \sum_{s_{-i} \in S_{-i}} \sigma_{i}(s_{i}) \sigma_{-i}(s_{i-}) v_i(s_i, s_{-i}) ) \]blog
混合策略的納什均衡
混合策略組合$\sigma^* = (\sigma_1^*, \sigma_2^*, \cdots, \sigma_n^*)$是一個納什策略，若是對於每一個玩家$\sigma_i^*$都是最佳響應。
\[ v_i(\sigma_i^*, \sigma_{-i}^*) \geq v_i(\sigma_i, \sigma_{-i}^*), \ \forall \sigma_i \in \Delta S_i \]ci

推論 6.1rem

若是$\sigma^*$是一個納什博弈，而且$\sigma^*支持$s_i$和$s'_i$,則
$v_i(s_i, \sigma_{-i}^*) = v_i(s'_i, \sigma_{-i}^*) = v_i(\sigma^*, \sigma_{-i}^*)$get

Rock-Paper-Scissor

斷言 6.1:

若是一個玩家選擇純策略，另外一個玩家選擇混合策略，則不存在納什均衡。

斷言 6.2:

若是至少有一個玩家選擇只有兩個純策略的混合策略，則不存在納什均衡。

嚴格劣勢策略的迭代消除和可合理化(IESDS and Rationalizability)

嚴格劣勢
$s'_i \in S_i$嚴格劣勢於$\sigma_i \in \Delta S_i$，若是知足條件：
\[ v_i(\sigma_i, s_{-i}) > v_i(s'_i, s_{-i}), \ \forall s_{-i} \in S_{-i} \\ \]
不多是一個最佳響應
對於玩家i的混合策略$\sigma_i \in \Delta S_i$，這個混合策略做爲最佳響應的對手混合策略$\sigma_i \in BR_i(\sigma_{-1})$，若是對手的任何混合策略$\sigma_{-1} \in \Delta S_{-i}$都不在玩家i的信念中，則$\sigma_i \in \Delta S_i$不多是一個最佳響應。

斷言

一個劣勢混合策略$sigma_i$不多是一個最佳響應。

推論 6.2

任何兩人博弈中，策略$sigma_i$是一個嚴格劣勢純策略，當且僅當策略$sigma_i$不多是一個最佳響應。

納什存在定理

納什存在定理(Nash's existence Theorem)

任何普通形式、具備限策略集合的博弈存在一個納什均衡的混合策略。
納什存在定理的證實用到了不動點定理。

布勞威爾不動點定理(Brouwer's Fixed-Point Theorem)

若是f(x)是一個連續函數從域[0, 1]到[0, 1]$f:[0, 1] \to [0, 1]$,則存在至少一個點$f(x^*) = x^*, x^* \in [0, 1]$。
證實過程簡介：連續函數f(x)必定和函數$f_1(x) = x$至少有一個交點。

最佳響應對應(collection of best response correspondence)
最佳響應對應集合$BR \equiv BR_1 \times BR_2 \times \cdots \times BR_n$，映射$\Delta S \equiv \Delta S_1 \times \Delta S_2 \times \cdots \times \Delta S_n $ 到自身。
也就是說：$BR : \Delta S \rightrightarrows \Delta S$, $BR(\sigma) \subset \Delta S, \ for \ \sigma \in \Delta S$

角谷不動點定理(Kakutani Fixed-Point Theorem)

一個對應$C: X \rightrightarrows X$有一個不動點，若是如下四個條件都知足：

X是非空的，緊湊的，$\mathbb{R}^n$的凸子集

C(x)對於全部的x都非空。

C(x)對於全部的x都是凸的。

C有一個閉合圖。

凸的(convex)
集合$X \subseteq \mathbb{R}^n$是凸的，若是集合X中任何兩點的連線上的點都在集合X中。
閉合的(closed)
集合$X \subseteq \mathbb{R}^n$是閉合的，若是集合X邊緣點在集合X中。(0, 1]是非閉合的，[0, 1]是閉合的。
緊湊的(compact)
集合$X \subseteq \mathbb{R}^n$是緊湊的，若是集合X是閉合而且有界。[0, 1]是緊湊的，$[0, \infty]$是非緊湊的。
閉合圖(closed graph)
圖$C: X \rightrightarrows X$是閉合圖, 若是C是閉合的。