壽險精算基礎

1 利息

利息即爲貨幣現值和期值的差額，也能夠說是使用資金的代價，如：在銀行存入100元的一年按期存款，一年期滿後可得本息107.47元，則7.47元即爲銀行支付的利息，而在每必定時間單位應繳的價格即爲利率。如上例的利率爲7.47%。 咱們一般所指的利率爲年利率，以百分率(%)表示，利率爲壽險精算考慮的重要因素之一。

1.1    單利 

在銀行儲蓄中，一般存入金額稱爲本金，積累到一個特定時期的一個總額稱爲本利和，在這特定時期所取得的利息是本利和減去本金。 表示利息的最基本公式是： S=P+I I=Pi S=P+Pi=P(1+i) S=本利和         P=本金           I=利息            i=利率 所謂單利就是在每一個利息期末僅對本金計算利息的計算方式，一般銀行儲蓄是指按單利計息的。

1.2    複利

在人壽保險中，已取得的利息會留存在保險公司，把利息和本金合在一塊兒再用於投資，再取得利息，這樣的利息是複利。 以給定的年利率在第一年底的本利和爲 S1=P(1+i) 在第二年底的本利和爲 S2=S1+S1•i=S1(1+i)=P(1+i)2 以此類推，在第n年底的本利和爲 S=P(1+i)n 如下咱們所提到的利率均指複利。

1.3    現值

所爲現值就是爲了在一個特定時期末取得必定金額而如今所須要投資的本金。 ∵   S=P(1+i)n ∴   P=S/(1+i)n 即：爲了在第n年底取得金額S，如今需投入本金P。 通常咱們用v表示1/(1+i)，從而有 Vn=1/(1+i)n 亦即：爲了在第n年底取得1元，現需投入本金vn。  如在n年每一年初支付1元，則其現值爲： 1+v1+v2+v3+...+vn-1 上述數值咱們用an表示，則 an=1+v1+v2+v3+...+vn-1   =（1-vn ）/（1-v）

1.4    終值

根據以上推導，咱們也能夠反過來計算，每一年初支付1元，共支付n年，第n年底的本息(咱們 稱其爲終值，用Sn表示)。 顯然，S1=1+i S2=(1+i)+(1+i)2 S3=(1+i)(1+i)2(1+i)3 ... 以此類推 Sn=(1+i)(1+i)2...+(1+i)n 通過數學計算 Sn=(1+i)n-1/I •(1+i) 事實上 Sn =an•(1+i)n(爲何?請思考) 以上的an 和 Sn在精算上 一般分別稱爲期首付肯定年金的現值和期首付肯定年金的終值。

1.5    幾個例子

例1，假定年利率爲3%，投資100元，在10年後將積累到多少金額?               100(1+3%)10=100×1.34392=134.39(元) 例2，假定年利率爲3%，爲了在10年後積累到100元，如今需本金多少?               100(v10)=100×0.74409=74.41(元) 例3，假定年利率爲3%，爲了在20年內每一年期首支付100元，現需本金爲多少?               100•a20=100×15.3238=1532.38(元) 例4，假定年利率爲3%，在20年內每一年期首支付100元，在第20年底將積累多少金額?               100•S20=100×27.67648=2767.65(元)

2  生命表

2.1    概述

生命表示即死亡表。它是以數字表示一代人自出生到死亡這一過程當中生命狀況的統計表。一般是假設以10萬人爲一單位，觀察此10萬人中每個人從出生至死亡，直到10萬人所有死亡的記錄。也就是說生命表是假設在一年開始時，有10萬個嬰兒(男、女分開計)同時出生，這10萬個嬰兒因先天與後天的差異，在之後的各年間生存人數不斷減小，死亡人數不斷增長，直到這10萬人所有死亡爲止，把這種由出生至死亡各年間所經歷的過程，用統計方法加以整理和分析編製成各年齡的生存、死亡之比率及平均指望之壽命等即是生命表。 人壽保險的保障性質要求咱們對所承保的被保險人羣的將來死亡情況作出預測，只有這樣才能保證壽險公司對保險訂價的準確合理，所以生命表是人壽保險公司經過精算制定保險費率 的基礎。 生命表分爲國民生命表和經驗生命表。國民生命表一般是國家人口統計部分根據人口普查數據資料獲得的，而因爲人口普查統計資 料的收集方法每每會致使數據產生錯誤或偏差，所以人口統計部門提供的死亡統計資料是不 夠完整和精確的。同時人口普查所真對的人羣與壽險公司所承保的被保險人羣的死亡率每每 會有必定的差別，所以國民生命表不用於壽險公司在計算保險費率時使用。 經驗生命表是壽險公司根據多年經營過程當中所積累的被保險人的死亡統計資料而編制的。由 於保險公司對被保險人的死亡統計資料積累記錄每每比較完整、準確，這也就便於得出按各年齡和性別分類的準確死亡率，依此編制出的經驗生命表一定與壽險公司經營過程當中所發生的死亡率有較好的擬合性。 通常地，被保險人的經驗死亡率應明顯低於人口普查的死亡率，這是由於被保險人是通過保險公司的"危險選擇"而進來的，具備較高死亡率的人將不被列入統計觀察之列。所以，人壽保險公司如今使用的生命表都是根據大量被保險人的死亡統計資料編制的。

2.2    生命表的構成及其內在關係

在生命表中，一般由如下幾項構成： 年齡------用x表示，x取0,1,2,...,w,w爲生命表中最高年齡。 生存人數------用lx表示，l０=100000，lx爲生存到x歲的人數。 死亡人數------用dx表示，dx爲生存至x歲但在x+1歲前死亡的人數。 生存率------用px表示，px爲年齡x歲的人生存至x+1歲的機率。 死亡率------用qx表示，qx爲年齡x歲的人在x+1歲以前死亡的機率。 平均餘命------用ex表示，ex爲年齡x歲的人在將來的平均存活年數。 在生命表中，有如下關係： (1)lx+1=lx-dx               dx=lx-lx+1 (2)lx+n=lx-(dx+dx+1+dx+2+...+dx+n-1) (3)px=lx+1/lx               x歲者至x+n歲仍生存的機率爲               npx=lx+n/lx (4)qx=dx/lx        x歲者在將來n年內死亡的機率爲         nqx=（lx-lx+n）/lx (5)px+qx=1 (6)ex=0.5+1/lx*（∑w-xt=1lx+t） 在壽險數理精算中，爲了便於推導和簡化計算，一般引入 下 列換算符號，這些符號的數值，可在利率與生命表肯定時，從專門的換算表中查定出來。 Dx=vx•lx Nx=Dx+Dx+1+...+Dw Sx=Nx+Nx+1+...+Nw Cx=v1/2+x•dx Mx=Cx+Cx+1+...+Cw Rx=Mx+Mx+1+...+Mw

2.3    生命表的編制

2.3.1        死亡率的計算

生命表是用各年齡的死亡率來編制的。在生命表中一般以10萬個同時出生的嬰兒羣體爲觀察對象，而在實際中保險公司不可能同時接受10萬人進行終身觀察，即不可觀察10萬人從0歲到99歲的死亡狀況。保險單是逐日簽發的，並且簽發給各類年齡的人。然而每家保險公司可 以保持其全部被保險人的記錄，這些記錄能夠提供各類年齡的觀察人數和每一個觀察期已 死亡的人數。所以，若是收集到足夠多的數據，便可根據所觀察人的年齡，觀察期，按性別的各類年齡的死亡人數編制生命表。 例如，假定咱們收集到了下列數據

年齡	觀察年的人數	年內死亡人數	年內死亡率
0	5000	40	0.0080
1	3000	9	0.0030
2	4500	18	0.0040
3	8000	36	0.0045
...	...	...	...

根據以上數據，能夠編制生命表以下： (1)       (2)       (3)       (4)       (5) 年齡x   生存人數lx 死亡人數dx   生存率px   死亡率qx[BH] (2)×(5)     1-(5)   0     100000     800     0.9920     0.0080 1     99200     298     0.9970     0.0030 2     98902     396     0.9960     0.0040 3   98506     443     0.9955     0.0045 ...       ...       ...       ...         ...

2.3.2        死亡率的調整

一般在依據死亡率數據制定出生命表後，還須要進行適當地調，以知足壽險公司在精算時的 實際須要，調整的方法有兩種： (1)修勻法。使用修勻法能夠消除觀察數據中不規則的部分，即把樣本經驗數據中不符合總 體特色的部分剔除，把死亡率"修勻"爲一條平滑的曲線，且仍保持觀察數據的基本特色。 在進行修勻時，要根據所使用的數據和計算的目的選擇某一種修勻方法。 (2)安全係數。對所得出的死亡率平滑曲線再增長適當的安全係數，例如，在最終生命表 的基礎上對各年齡的死亡率上浮20%，以抵消因爲天然災害、戰爭、流行病等未預料到的事 件引發的死亡率增長。而對於用來計算年金險或生存保險的生命表，可經過對各年齡死亡率 下浮的辦來增長安全係數。

2.3.3        我國生命表的編制

自改革開放以來，我國人身保險業務通過十多年的發展，積累了必定的經營管理方面的經驗 ，這其中，包括有較豐富的經驗數據資料和一大批長期從事保險業務的專門人才，特別是培 養了掌握製做經驗生命表技術的精算人才，使得我國人壽保險業經驗生命表的製做成爲可能 。 自1995年4月開始，編制小組在對數據資料進行研究的同時，研究國際上的編表技術，在借鑑國際經驗的基礎上，充分聽取有關專家及保險實踐工做者等多方面的意見，通過多方共同努力，於1995年7月底順利完成了"中國人壽保險業經驗生命表(1990-1993)"的技術編制工做。目前該生命表已被我國各家保險公司採用。

2.4    死亡指數與額外死亡率

如前所述，在生命表中所給寫的死亡率，是根據保險公司以往經驗統計獲得的，死亡率qx表示保險公司所承保的年齡X歲被保險人羣的平均死亡率。而就年齡X歲的這一被保險人羣 來講，因每一個人的生命經歷不一樣，先天后天因素的影響，導致這年齡X歲的每一被保險人在實際中發生死亡的機率是不一樣的。具備某種缺陷因素者如高血壓、糖尿病患者，其將來發生死亡的機率會遠大於生命表給出的死亡率。 在實際工做中，保險公司所制定的保險費率是以生命表爲基礎的，即將生命表中給定的死亡率做爲預約死亡率，而對於具備某種缺陷因素者(缺陷體或額外危險體)。爲了風險評估的需 要，一般引入死亡指數的概念，死亡指數可用下列方法計算： 死亡指數=缺陷體(額外危險體)人羣死亡率/生命表中預約死亡率 ×100% 死亡指數用百分比來表示，一般其數值大於1。在覈保實務中，咱們一般也將死亡指數稱爲總死亡率，用TM表示，則 缺陷體人羣死亡率(q′x)=TM•qx 在做覈保時，咱們每每會拿缺陷體人羣死亡率q′x與生命表中的qx相比較。通常咱們將 缺陷體人羣死亡率q′x所超出qx的百分比稱爲額外死亡率，用EM表示，顯然有： EM=TM-1 即： q′x=(EM+1)•qx=EM•qx+qx 對於各類缺陷體，其EM值的肯定，可經過查定覈保手冊獲得。所以，對某種缺陷體面言，在EM值肯定的狀況下，咱們能夠獲得該缺陷體人羣的生命表，這一缺陷體人羣生命表爲咱們將來計算額外保費的基礎。

3 純保費的計算

人壽保險的保險費通常分爲純保費(或稱淨保費)和總保費(或稱毛保費)，所謂純保費，是保險公司依據預約的死亡率和預約利率而計算出來的保險費。它不包括任何營業費用，而且保險費等於所承擔的保險責任。 在這裏咱們作以下假定： 全部保險費都是在期初繳費； 全部死亡給付都發生在年中。

3.1    躉交純保費的計算

躉交純保費，即爲投保人在投保時向保險人一次繳納的純保險費總額。 （一）天然保費 所謂天然保費，即爲正好用於當年死亡給付而應繳納的純保費。亦即爲一年按期死亡保險的躉交純保費。 咱們用Cx來表示保額1元的天然保險費，x表示年齡，假定年齡爲x歲的lx人每人繳納Cx，用於年中死亡的dx人來分攤，考慮到利息因素，顯然有： lx•Cx=v1/2•dx 即Cx=v1/2•dx/lx= v1/2•qx 例1 試求投保年齡31歲至24歲保額10000元的天然保費(生命表爲日本全會社第二回，i=7.5%) C31=10000×0.96449×0.00149=14.37元 C32=10000×0.96449×0.00156=15.05元 C33=10000×0.96449×0.00163=15.72元 C34=10000×0.96449×0.00172=16.59元 由此能夠看出，隨着年齡的增加，死亡率逐年上升，被保險人所繳納的天然保險費也會相應提升，於是在採用天然保費制收取保費 時，不一樣年齡的人所繳納的保險費也就各不相同。 （二）按期生存保險的躉繳純保費 年齡x歲的人，投保n年按期生存保險，咱們用Ax∶n1來表示保額爲1元按期生存躉繳純保費。lx人在投保時所繳納的共lx•Ax∶n1保險費， 由n年期滿時所生存的lx+n人來分攤，考慮利息因素，顯然有 lx•Ax∶n1=vn•lx+n 即Ax∶n1=vn•lx+n/lx=Dx+n/Dx 例2 試求30歲投保5年按期生存保險，保額10000元的躉繳純保費。 根據以上公式，保額10000元的躉繳純保費的 10000•Ax∶n1=10000•A30∶51              =10000•D30+5/D30              =10000×7572.9160/10957.4519              =6911.20(元) （三）按期死亡保險的躉繳純保費 年齡x歲的人，投保n年按期死亡保險，咱們用Ax1∶n來表示保額1元的按期死亡躉繳純保費。lx人在投保時所繳納的共lx•Ax1∶n保險費， 用於給付那些第1年死亡的dx人每人1元，第2年死亡的dx+1人每人1元，......，第n 年死亡的dx+n-1人每人1元，考慮到利息因素，顯然有： lx•Ax1∶n=v1/2dx +v1/2+1dx+1 +...+v1/2+n-1dx+n-1         即 Ax1∶n=（v1/2dx   +v1/2+1dx+1+...+v1/2+n-1dx+n-1）/lx                 =（Cx   +Cx+1+...+Cx+n-1）/Dx                 =（Mx-Mx+n）/Dx 例3 試求30歲投保保額10000元的5年按期壽險的躉繳純保費，依公式，該躉繳純保費應爲 ： 10000•Ax1∶n =10000•A301∶5 =10000•（M30-M35）/D30 =10000×(749.9902-678.6768)/10957.4519 =65.08(元) （四）按期兩全保險躉繳純保費 咱們用Ax∶n表示年齡x歲的人投保n年期保額爲1元按期生死兩全保險的躉繳純保費，顯然有： Ax∶n=Ax1∶n+Ax∶n1 即Ax∶n=（Mx-Mx+n +Dx+n）/Dx （五）終身死亡保險躉繳純保費 終身死亡保險即保險期限限於被保險人的一輩子，在其死亡時給付保險金的保險，人總有一死，只不過有遲早之分，所以對保險人來說，投保終身保險沒有固定的期限，何時死亡，何時保險責任終止。 咱們用Ax表示保額1元的終身死亡保險的躉繳純保費，在按期死亡保險躉繳純保費的計算公式Ax∶n中取n充分大，便可獲得 Ax=（Mx-Mw）/Dx 因爲Mw=0，因此Ax =Mx /Dx 例4 試求30歲投保保額10000元終身壽險的躉繳純保費 運用上述公式，該躉繳純保費爲 10000 Ax =10000A30=10000•M30/D30            =10000×(749.9902/10957.4519)          =684.46(元)

3.2    年繳純保費的計算

（一）生命年金的現值 1.按期生命年金的現值 咱們用ax∶n表示年齡x歲的人n年按期生命年金的現值，亦即年齡x歲的人在n年內，若生存，則每一年期首支付1元，直至n年期滿；若n年內身故，則終 止支付，此一支付方式的現值即爲ax∶n 。 假定生命表中年齡x歲的lx人均來參加這一支付方式，則有 lx•ax∶n=lx +vlx+1+...+vn-1•lx+n-1 顯然 ax∶n=（lx +vlx+1+...+vn-1•lx+n-1）/lx 即ax∶n =（Dx +Dx+1+...+Dx+n-1）/Dx=Nx-Nx+n/Dx 2.終身生命年金的現值 咱們用ax來表示年齡x歲的人的終身生命年金的現值，在按期生命金的現值的計算公式ax∶n中取n充分大，便可獲得 ax=（Nx-Nw）/Dx 因爲Nw=0，因此ax=Nx/Dx （二）按期生存保險的年繳純保費 用符號Px∶n1表示年齡x歲的人投保保額1元的n年按期生存保險的 年繳純保費。依據"年繳純保費的現值=躉繳純保費"這一計算原理。 Px∶n1•ax∶n=Ax∶n1 Px∶n1=Ax∶n1 /ax∶n 即Px∶n1=Dx+n/Nx-Nx+n 例5 試求30歲投保5年按期生存保險，保額10000元的年繳純保費。 利用上述公式，該年繳純保費的 10000•Px∶n1=10000•P30∶51              =10000•D30+5/（N30-N30+5）              =7572.9160/（146688.7252-99162.9015） ×10000              =1593.43元 （三）按期死亡保險的年繳純保費 用符號Px1∶n表示年齡x歲的人投保保額1元的n年按期死亡保險的年繳純保費，依據上述同一計算原理，咱們獲得 Px1∶n•ax∶n=Ax1∶n Px1∶n= Ax1∶n / ax∶n 即Px1∶n =Mx-Mx+n/Nx-Nx+n 例6 試求30歲投保5年按期死亡保險，保額10000元的年繳純保費。 利用上述公式，該年繳純保費爲： 10000•Px1∶n=10000•P301∶5              =10000•（M30-M35）/（N30-N35）              =（749.9902-678.6768）/（146688.7252-99162.9015）×10000              =14.98(元) （四）按期兩全保險的年繳純保費 用符號Px∶n表示年齡x歲的人投保n年期保額爲1元按期生死兩全保險的年繳純保費，顯然有 Px∶n=Px1∶n+Px∶n1 即Px∶n=（Mx-Mx+n+Dx+n）/（Nx-Nx+n） （五）終身保險年繳純保費 用符合Px表示年齡x歲的人投保保額1元的終身保險年繳純保費，依據"年繳純保費現值= 躉交純保費"這一計算原理： Px•ax=Ax Px=Ax/ax 即Ｐx=Mx/Nx 例7 求30歲投保保額10000元終身壽險的年繳純保費依公式，該年繳純保費爲 10000•px=10000•P30=10000•M30/N30          =10000•749.9902/146688.7252          =51.13(元)

3.3    額外保險費的計算

在壽險經營過程當中，因覈保工做的開展，爲了公司、客戶之間的公平合理性。對於具備某種缺陷體而使額外死亡率達到某一限額的被保險人，需加收一部分額外保險費，以維護客戶之間的公平性，保證保險公司的健全經營。 咱們用△P表示額外保險費。咱們知道，在標準保費P的計算過程當中，P爲預約死亡率qx的函數，即： P=P(qx) 假定對某一缺陷體，其額外死亡率爲EM。則對於該缺陷體的將來預約死亡率(咱們用qx表示)爲 M•qx+qx，即： q′x=EM•qx+qx 對於缺陷體的將來預約死亡率q′x，咱們運用同一保費計算公式，能夠獲得具備該缺陷體的保戶在投保同一險別時應繳納的保費(咱們用P′表示) P′=P(q′x) 在保戶已繳納標準保費P的狀況下，尚須繳納的額外保費爲： P=P′-P =P(q′x)-P(qx) =P(EM•qx+qx)-P(qx) 此即爲額外保險費的計算公式。

4 責任準備金與現金價值

4.1    概述

從理論上講，人壽保險公司可經過兩種方法收取期繳的人壽保險費，即分別爲天然保險費的計算方法和均衡純保費的計算方法。而在實際中，因爲人壽保險是以人的生死做爲"危險"來經營的，那麼，在正常狀況下，人的死亡率，除嬰兒死亡率較高外，通常都是隨着被保險人年齡的增加，死亡率逐年增長。若是採用天然保費的繳付方法，其每一年應繳付的保險費必須隨着被保險人年齡的增長而逐年上升。天然保費剛好足以抵付保險公司當年度死亡給付所須要的金額而沒有剩餘。但這種方式對年齡較大者來講，因負擔保費較重，而參加者逐年減小，因此採用天然保費來繳付逐年保費的這一繳費方法在實際中如今已基本上再也不使用。如今保險公司均採用逐年收取相等保險費的作法，即年繳均衡純保費。因爲年繳均衡保費規定，每一年投保人要繳付相等的保費，而按天然保費計算的被保險人的"危險"隨年齡增加而逐年增長的。所以，在投保後必定時期內，投保人繳付的均衡純保費大於天然保費，並無徹底用於當年度的死亡給付，而是有所積累；而在必定時期後，投保人繳付的均衡純保費小於其應繳付的天然保費，不足於抵付保險公司當年度的死亡給付， 而是由前一時期的積累部分來抵償。所以保險公司在經營過程當中應將投保人早年所多繳的保險費要爲運用生息，增長積累，以用於晚年不足給付時的須要。這一多繳部分的保險費，以複利生息，其終值即爲壽險均衡純保費責任準備金。 人壽保險公司的準備金是公司對保險單全部人的負債，它佔了人壽保險公司資產的絕大部分比例。例如人壽保險公司不提存適當的準備金，它就有可能變爲無償債能力，最終不能給付保險金。爲了保證壽險公司長遠穩定經營及投保人的利益，必須提取足夠的責任準備以應付未來給付的須要。各國政府的保險管理部門常常對保險公司的準備金提存及資金運用的安全性予以監督，以保證投保人的利益不受損害。我國的保險業目前由中國人民銀行保險司負責管理和監督。

4.2    均衡純保費責任準備金

（一）過去法 過去法，也稱追溯法。它是用過去所繳付的純保費複利終值減去過去給付保險金的終值，以其差額來計的責任準備金的一種方法。以保額1元的按期n年死亡保險爲例，其計算公式爲： tV′x∶n=P′x∶n•（Nx-Nx+t）/Dx+t-1•（Mx-Mx+t）/Dx+t 其中，tV′x∶n表示第t年底的責任準備金，P′x∶n爲年繳純保費。 在此公式中，前一項表明投保人繳納的保費在第t年底的複利終值，後一項表明保險公司至第t年底之前已給付保險金的複利終值。 例1 求30歲投保5年按期死亡保險，保額10000元的各保單年度末的責任準備金。 依據上節例6，該例的年繳純保費爲： 10000P130∶5=14.98元 第一保單年度末責任準備金 10000•1V130∶5 =10000•P130∶5•（N30-N31）/D31-10000•（M30-M31）/D31 =14.98× (146688.7252-135731.2733)/10178.4219-10000×(749.9 902-734.8976)/10178.4219 =16.13-14.83 =1.30(元) 依此類推 第二保單年度末責任準備金 10000•2V130∶5=33.49-31.46=2.03(元) 第三保單年度末責任準備金 10000•3V130∶5=52.19-50.05=2.14(元) 第四保單年度末責任準備金 10000•4V130∶5=72.32-70.86=1.46(元) 第五保單年度末責任準備金 10000•5V130∶5=94.18-94.18=0 第五保單年度末因保險責任已所有終止，於是責任準備金爲0。 （二）將來法 將來法，也稱未來法或預期法。它是用未來保險金額之現值與未來可收之末繳保險費之現值的差額來計算責任準備金的一種方法。以保額1元的按期n年生存保險爲例，其計算公式爲： tVx∶n1=1•Dx+n/Dx+t -Px∶n1•（Nx+t-Nx+n）/Dx+t 其中，tVx∶n1表示第t年底的責任準備金，Px∶n1爲年繳純保費，公式中前一項表明末來給付保險責任的現值，後一項表明未來可收取保費的現值。 例2 求30歲投保5年按期生存保險，保險10000元的各保單年度末的責任準備金。 依據上節例5，該例的年繳純保費爲：10000•P30∶51=159 3.43元 第一保單年度末的責任準備金 10000•1V30∶51=10000•D35/D31-10000•P30∶51•（N31-N35）/D31 =10000× (7572.9160/10178.4219)-1593.43×(135731.2733-99162.9015)/10178.4219 =7440.17-5724.77 =1715.40(元) 依此類推 第二保單年度末的責任準備金 10000•2V30∶51=8010.14-4447.83=3562.31元 第三保單年度末的責任準備金 10000•3V30∶51=8624.33-3073.27=5551.06元 第四保單年度末的責任準備金 10000•4V30∶51=9286.33-1593.43=7692.90元 第五保單年度末的責任準備金 10000•5V30∶51〖=10000元第五保單年度末的責任 準備金恰好可用來給付滿期生存責任。 過去法和將來法都是計算期末責任準備金的方法。雖然前者以過去已繳付保費的終值爲主計算準備金，後者以來保險利益現值爲主計算準備金，但兩者所計的同一年底的準備金金額是相等的。 （三）各種責任準備金的計算公式 1.過去法 a)按期保險 tVx１∶n=Px1∶n•(Nx-Nx+t)/Dx+t-1•(Mx-Mx+t)/Dx+t b)生存保險 tVx∶n1=Px∶n1•(Nx-Nx+t)/Dx+t c)兩全保險 tVx∶n=Px∶n•(Nx-Nx+t)/Dx+t-1•(Mx-Mx+t)/Dx+t d)終身死亡保險 tVx=Px•(Nx-Nx+t)/Dx+t-1•(Mx-Mx+t)/Dx+t 2.將來法 a)按期保險 tVx１∶n=1• (Mx-Mx+t)/Dx+t-Px1∶n•(Nx+t-Nx+n)/Dx+t b)生存保險 tVx∶n1=1•(Dx+t /Dx+t)-Px∶n1•(Nx+t-Nx+n)/Dx+t c)兩全保險 tVx∶n=1•(Mx+t-Mx+n+Dx+n)/Dx+t-Px∶n•(Nx+t-Nx+n)/Dx+t d)終身死亡保險 tVx=1•(Mx+t /Dx+t)-Px•(Nx+t-Nx+n)/Dx+t

4.3    危險保額與危險保費

（一）危險保額 人壽保險的每張保單都有其本身的準備金，在一個特定的時期內，這些準備金是保險公司對保單持有人的負債。責任準備金隨着保單年度的變化而變化，保單滿期時，責任準備金剛好等於滿期保險金額。在保險期間內，若發生保險事故，保險公司所給付的保險金中，有一部分是被保險人本人準備金的積累，保險公司真正承擔的風險是保險金額與準備金的差額部分，這一保險金額與準備金的差額即稱爲危險保額。 危險保額隨保單年度的變化而變化，就一張保單而言，保單開始的初期，因爲準備金積存太少，若發生保險事故，保險公司按保險金額給付保險金，此時保險公司所承擔的淨風險就大；隨着準備金的增多，保險淨風險會逐漸減小，至保險期滿時，保險淨風險將趨近於零。因此一張保單在任一保單年度的危險保額，就是保險金額減去該年度的責任準備金。 咱們以tNx表示單位保額的危險保額，tV爲單位保額的責任準備金，則 tNx=1-tV 例3 求30歲投保5年按期兩全保險，保險金額10000元的逐年危險保額。 依據兩全保險的責任準備金計算公式，在該例中，各年度未的責準備金爲： 10000•1V30∶5=1716.70 10000•2V30∶5=3564.34 10000•3V30∶5=5553.20 10000•4V30∶5=7694.36 10000•5V30∶5=10000 故各年度的危險保額爲： 10000•1N30=10000-10000•1V30∶5=8283.30 10000•2N30=10000-10000•2V30∶5=6435.66 10000•3N30=10000-10000•3V30∶5=4446.8 10000•4N30=10000-10000•4V30∶5=2305.64 10000•5N30=10000-10000•5V30∶5=0 （二）危險保費 在人身保險精算中爲了看清及分析投保人所繳納純保費的功用與構成，更深入地理解壽險商品設計的基本原理，咱們一般可將投保人所繳的保險費P分解爲兩部分，即 P=Pr+Ps 其中，Pr表示危險保費，Ps表示儲蓄保費。 所謂危險保費，就是爲承擔保險公司每一年淨風險(危險保額)而應提取的保險費；而儲蓄保費是爲了積累責任準備金而應提取的保險費。故 Pr=vqx+t(1-t+1V) Ps=v•t+1V-tV 如下咱們來證實均衡純保費可分解爲： P=vqx+t(1-t+1V)+(v•t+1V-tV) 假設生命表中，全部年齡x歲的lx人均參加保險，則在第t+1年初的準備金總數爲：          lx+t•tV+lx+t•P=lx+t(tV+P) 這一準備金總數在t+1年底的本利和爲：         lx+t•(tV+P)(1+i) 但因爲當年死亡的dx+t人每人獲得1元保險金，故至第t+1年底的準備金總數爲：          lx+t•(tV+P)(1+i)-dx+t 這一準備金總數由第t+1年底生存的lx+t+1人來分攤即 t+1V=(lx+t•(tV+P)(1+i)-dx+t）/lx+t+1 運用換算符號之間的關係，通過數學推導便可獲得。         P=vqx+t•(1-t+1V)+(v•t+1V-tV) 經過Pr=vqx+t•(1-t+1V)，咱們能夠看出，危險保費即爲將危險保額做爲保險金額而應繳納的天然保險費；而經過Ps=v•t+1V-tV，咱們能夠獲得：t+1V=(tV+Ps)(1+i)，若是把上年末的責任準備金視爲儲金，加上新存入的Ps，則到年末的本利和爲Ps。 雖然年繳純保費P是均衡的(每一年都相等)，而通過分解後的Pr與Ps則是隨保單年度而變化的。

4.4    現金價值

所謂現金價值，即爲咱們一般所講的退保金、解約金。人壽保險契約一般爲長期性的，投保人須要在繳費期內按約定按期繳納保險費，但因爲受我的經濟條件的限制及客觀經濟條件變化等因素的影響，每每會形成投保人在中途解約，即退保，若此時投保人繳納的保險費已達到某一規定次數，保險公司應當支付客戶必定的退保金。 從責任準備金提取上來說，因爲保險公司每一年要提存責任準備金，而責任準備金又是保險公司對投保人的一種負債。所以在退保時，應將這一負債額的絕大部分，退還給投保人，這一退還的金額即爲保單現金價值，或稱退保金。 而發生退保時，一般對保險公司有以下不利影響： 1死亡率之逆選擇，通常狀況下，身體不健康或體弱者不肯退保，大量身體健康者的退出，會使留下的被保險人的平均死亡率提升，而形成逆選擇； 2不利於資金運用，保險公司因要準備至關金額的退保會，供退保者支取，因此，一部分資金不能長期運用生息，導致利息收入減小； 3費用沒法攤提，在保單初年度因各項費用較高，需在續年中逐步攤回，但因爲中途終止契約，部分費用沒法攤提，這一未"攤回"的費用，應在退保時一次"攤回"。 4辦理退保手續等事項，須要必定的人力，物力及費用支出。 因爲上述不利因素的影響，在客戶單方面提出解約退保時，應承擔保險人的部分損失，所以退保金不能徹底與退保時的責任準備金相等，而應從責任準備金中扣除必定的費用，做爲對保險公司的補償。一般咱們以tC表示解約費用，tCV表示保單現金價值，則 tCV=tV-tC 在退保時，準確地計算出應扣除的tC是很不容易的，所以，在實務上對解約費用，通常都扣除一個固定的金額，或保額的必定比例。對此各國保險法規都有必定的規定。如臺灣保險法規定，此一數額不得超過實際準備金的25%，而有的公司規定這一數額按保額的1-2%扣除。