債務償還 - 壽險精算(4)

（2017-09-30 銀河統計）

第一章 利息理論

教學重點：掌握利息的基礎理論，年金現值、年金終值的定義及計算方法，永續年金、變額年金的現值和終值的計算；熟悉年金的定義及分類方法。

人壽保險是以人的身體和爲保險標的的保險。人生的各個不一樣階段一直都面臨着生、老、病、死的風險，每每須要經過保險獲得經濟安全保障。爲了在較長時期內平衡繳費水平，人壽保險一般爲長期合同。所以，在壽險精算中，必需要考慮資金的投資收益，利息理論便成爲壽險精算的基礎。

第三節 債務償還

本節概要：分期償還和償債基金原理、計算公式和圖表，以及在線計算表

借債人對債務的償還一般採起分期償還和償債基金兩種基本方法。在分期償還方式下，借款人在還款期內分期還清所有本金和利息；在償債基金方式下，借款人在貸款期間分期償還借款利息，同時積累一筆償債基金，用於貸款到期時一次性清償貸款本金。

1、分期償還

分期償還指借款人按必定週期分期償清當期應支付的利息及本金。這裏須要計算每次償還的總金額、每次償還總金額中包含的利息及本金、當期還沒有償還的貸款餘額等。

一、等額分期償還

等額分期償還債務的方法是在規定還款期內每次償還相等金額的還款方式。設貸款本金爲\(B_0\)，還款期爲\(n\)年，每一年還款一次，年實際利率爲\(i\)， \(B_k(1=1,2,\dots,n)\)第\(k\)期未償還的本金餘額。

I、期末等額分期償還

已知平均每一年償還金額R爲：\(R=\frac{B_0}{a_{n|i}}\)

第一期末：\(B_1=B_0-(R-i\times B_0)=B_0(1+i)-R\)
第二期末：\(B_2=B_1-(R-i\times B_1)=B_0(1+i)^2-R\times s_{2|i}\)
第三期末：\(B_3=B_2-(R-i\times B_2)=B_0(1+i)^3-R\times s_{3|i}\)

依此類推：\(B_k=B_0(1+i)^k-R\times s_{k|i}\tag{1-67}\)

由\(B_0=R\times a_{n|i}\)可知：

\[ B_k=R[a_{n|i}(1+i)^k-s_{k|i}]=R[\frac{1-v^n}{i}(1+i)^k-\frac{(1+i)^k-1}{i}]=R\times\frac{1-v^{n-k}}{i} \]

即：\(B_k=R\times a_{n-k|i}\tag{1-68}\)

計算未償還的本金餘額 採用式（1-67）稱爲過去法、式（1-68）稱爲未來法。在每期未償還的本金餘額\(B_k\)的基礎上，令\(I_k\)爲第k期應支付的利息，\(P_k\)爲第k期償還的本金， \(sI_n\)表示支付利息總額，則：

\[ I_k=i\times B_{k-1}=i\times R\times a_{n-k+|i}=R(1-v^{n-k+1})\tag{1-69} \]

\[ P_k=R-I_k=R\times v^{n-k+1}\tag{1-70} \]

\[ sI_n=\sum\limits_{k=1}^n I_k=R[(1-v^n)+(1-v^{n-1})+\dots+(1-v)]=nR-Ra_{n|i}\tag{1-71} \]

付款總金額爲\(nR\)，償還本金總額爲\(B_0\)。

II、期初等額分期償還

已知平均每一年償還金額\(R\)爲：

\[R=\frac{B_0}{\ddot{a}_{n|i}}\]

\[B_k=B_0(1+i)^k-R\times\ddot{s}_{k|i}=R\times\ddot{a}_{n-k|i}\]

【例1.23】某企業向銀行借款20000元，期限爲5年，年利率爲6%。該企業在每一年你年底以等額分期方式償還貸款，計算等額分期償還表。

解：\(R=\frac{B_0}{a_{n|i}}=\frac{20000}{a_{5|0.06}}=4747.93\)（元/年）

由\(B_k=R\times a_{5-k|0.06},\;I_k=i\times B_{k-1}=0.06 B_{k-1}\times,\;P_k=R-I_k\)依次得，

表 1-3：貸款等額分期償還表

時期-$k$	償還金額-$R$	償還利息$I_k$	償還本金$P_k$	未償還餘額$B_k$
0	0	0	0	20000
1	4747.93	1200.00	3547.93	16452.07
2	4747.93	987.12	3760.80	12691.27
3	4747.93	761.48	3986.45	8704.82
4	4747.93	522.29	4225.64	4479.18
5	4747.93	268.75	4479.18	0
合計	23739.65	3739.64	20000.00	*

【例1.24】某筆7000元的貸款，每一年年底償還1000元，年利率10%。計算第九次付款後的貸款餘額。

解：\(B_k=B_0(1+i)^k-R\times\ddot{s}_{k|i}\rightarrow B_9=7000\times (1+0.1)^9-1000\times s_{9|0.1}=2926.16\)（元）

等額分期償還計算表（債務償還計算表I）
金額    利率    期限    期初期末  運 行

注：設置參數後，點擊「運 行」按鈕，得到各項分期償還指標。

二、變額分期償還

變額分期償還債務的方法是在規定還款期內每次償還不等金額的還款方式。設初始貸款金額爲\(B_0\)，第\(k\)期償還的金額爲\(R_k,k=1,2,\dots,n\)，則有\(B0=\sum\limits_{k=1}^n v^k\times R_k\)。

I、每期償還本金相等

最多見的變額分期償還方式是每期償還的本金相等。這樣，逐期償還本金，本金餘額遞減的同時償還利息也逐期遞減。

設每期償還本金爲\(P\)，年利率爲\(i\)，還款期限爲\(n\)，貸款總金額爲\(nP\)。則，

每期未償還的本金餘額：\(B_k=(n-k)\times P\)
第\(k\)期應支付利息：\(I_k=i\times B_{k-1}=i\times (n-k+1)\times P\)
第\(k\)期償還本利和：\(R_k=P+I_k=P\times [1+i\times (n-k+1)]\)
支付利息總和：\(sI_n=\sum\limits_{k=1}^nI_k=\sum\limits_{k=1}^ni\times (n-k+1)\times P=i\times P\times\frac{n(n+1)}{2}\)
付款金額總和：\(sR_n=n\times P+i\times P\times\frac{n(n+1)}{2}\)

【例1.25】某筆20000元的貸款，每一年年底償還4000元本金，年利率6%。

a、計算第三次付款金額、支付利息和貸款餘額；
b、計算利息總額和付款總額；
c、製做貸款償還表。

解：已知還款期限，\(n=5\)

a、第三次付款金額：\(R_3=4000\times [1+0.06\times (5-3+1)]=4720\)（元）
    第三次支付利息：\(I_3=0.06\times (5-3+1)\times 4000=720\)（元）
    第三次貸款餘額：\(B_3=(5-3)\times 4000=8000\)（元）

b、利息總額：\(sI5=0.06\times 4000\times\frac{5(5+1)}{2}=3600\)（元）
    付款總額：\(sR_5=5\times 4000+0.06\times 4000\frac{5(5+1)}{2}=23600\)（元）

c、貸款償還表

表 1-4：貸款變額分期償還表

時期-$k$	償還金額-$R_k$	償還利息$I_k$	償還本金$P$	未償還餘額$B_k$
0	0	0	0	20000.00
1	5200.00	1200.00	4000.00	16000.00
2	4960.00	960.00	4000.00	12000.00
3	4720.00	720.00	4000.00	8000.00
4	4480.00	480.00	4000.00	4000.00
5	4240.00	240.00	4000.00	0
合計	23600.00	3600.00	20000.00	*

【例1.26】某人從銀行得到一筆貸款，期限爲10年，年利率5%。該人採用變額分期償還法償還貸款，每一年年底償還金額分別爲20000元、19000元、…、11000元。求，

a、貸款本金；
b、第五年所償還的本金和利息（還款等額遞減）。

解、

a、貸款本金：\(B_0=10000\times a_{10|0.05}+1000\times (Da)_{10|0.05}=122782.65\)（元）
b、第4年未償還貸款餘額：\(B_0=10000\times a_{10-4|0.05}+1000\times (Da)_{10-4|0.05}=69243.08\)（元）
    第5年償還利息：\(I_5=i\times B_4=0.05\times 69243.08=3462.154\)（元）
    第5年償還本金：\(P_5=R_5-I_5=16000-3462.154=12537.846\)（元）

變額（本金相等）期末償還計算表（債務償還計算表II）
金額    利率    期限   運 行

注：設置參數後，點擊「運 行」按鈕，得到各項分期償還指標。

II、每期遞增（減）變額還款

最初貸款額\(B_0\)，每期償還金額爲 \(B_k(1=1,2,\dots,n)\)，第一筆償還額爲\(R\)，之後每一年遞增（減）比例爲\(1+j\)。則有，

\(B_0=\sum\limits_{k=1}^n v^k\times R_k=(vR_1+v^2R_2+\dots+v^nR_n)=[vR+v^2(1+j)R+\dots+v^n(1+j)^{n-1}R]\)
    \(=vR[1+v(1+j)+\dots+v^{n-1}(1+j)^{n-1}]=vR\frac{1-v^n(1+j)^n}{1-v(1+j)}\)    \((i\not=j)\)

當\((i=j)\)時，爲分期等額還款，此時已知\(R=\frac{B_0}{a_{n|i}}\)，

解得，\(R=\Large{\frac{B_0[1-v(1+j)]}{v[1-v^n(1+j)^n]}=\frac{B_0(1-\frac{1+j}{1+i})}{\frac{1}{1+i}[1-(\frac{1+j}{1+i})^n]}}\)    \((i\not=j)\)

第\(k\)期付款：\(R_k=R(1+j)^{k-1}\)
第\(k\)期利息：\(I_k=i\times B_{k-1}\)
第\(k\)期本金：\(P_k=R_k-I_k\)
第\(k\)期貸款餘額：\(B_k=B_{k-1}-P_k\)

【例1.27】某人從銀行得到10000貸款，期限爲8年，年利率10%。每一年年底償還一次，每次償還金額以30%遞增製做分期償還表。

解、已知，\(n=8, i=0.1, j=0.3, B_0=10000, R=\frac{10000\times (1-\frac{1.3}{1.1})}{\frac{1}{1.1}\times [1-(\frac{1.3}{1.1})^8]}=712.9\)

表 1-5：貸款變額遞增分期償還表

時期-$k$	償還金額-$R_k$	償還利息$I_k$	償還本金$P_k$	未償還餘額$B_k$
0	0	0	0	10000.00
1	712.90	1000.00	-287.10	10287.10
2	926.77	1028.71	-101.94	10389.04
3	1204.80	1038.90	165.9	10223.14
4	1566.24	1022.31	543.93	9679.21
5	2036.11	967.92	1068.19	8611.02
6	2646.95	861.10	1785.84	6826.18
7	3441.03	682.52	2758.51	4066.67
8	4473.34	406.67	4066.67	0
合計	17008.15	7008.15	10000.01	*

遞增（減）變額期末還款計算表（債務償還計算表III）
金額    利率    增減比率    期限   運 行

注：設置參數後（利率\(\not=\)增減比率，二者相等時爲分期等額還款），點擊「運 行」按鈕，得到各項分期償還指標。

2、償債基金

償債基金的還款方法是借款人在貸款期間分期償還貸款利息，同時爲了可以在貸款期末一次性歸還本金，按期向一「基金」存款，使該基金在貸款期末的累積值正好等於本金。這一基金稱爲償債基金。

通常狀況下，採用等額償債基金方式，借款人每期向償債基金儲蓄的金額相等，記爲\(D\)。若是償債基金各期利率爲\(j\)、銀行貸款利率爲\(i\)，貸款期爲\(n\)，期初貸款額爲\(B_0\)，則有，

各期利息：\(I=i\times B_0\)
每期向償債基金儲蓄金額：\(D=\frac{B_0}{s_{n|j}}\)
每期支付總額爲：\(R=I+D=i\times B_0+\frac{B_0}{s_{n|j}}=B_0(i+\frac{1}{s_{n|j}})\)
第\(k\)期末貸款餘額爲：\(B_k=B_0-D\times s_{k|j}=B_0-\frac{B_0}{s_{n|j}}s_{k|j}=B_0(1-\frac{s_{k|j}}{s_{n|j}})\)
第\(k\)期償債基金的餘額：\(F_k=D\times s_{k|j}=B_0\frac{s_{k|j}}{s_{n|j}}\)
第\(k\)期償債基金所生成的利息：\(M_k=j\times D\times s_{k-1|j}=j\times B_0\times\frac{s_{k-1|j}}{s_{n|j}}\)
第\(k\)期實際支付的利息： \(I_k=i\times B_0-j\times D\times s_{k-1|j}=B_0\times (i-j\times\frac{s_{k-1|j}}{s_{n|j})})\)

式中，償債基金每期產生的利息爲上期期末累積值與基金利率的乘積。\(i=j\)時，等額償債基金等價於等額分期還款。

【例1.28】某筆20000元的貸款，基金存款年利率5%，銀行貸款年利率6%，貸款期限爲5年。製做等額償債基金錶。

表 1-6：貸款等額償債基金還款表

時期$k$	付款金額$R=I+D$	貸款利息$I=i\times B_k$	償債基金$D$	基金利息$M_k$	實際利息$I_k$	基金餘額$F_k$	貸款餘額$B_k$
0	0	0	0	0	0	0	20000.00
1	4819.50	1200.00	3619.50	0.00	1200.00	3619.50	16380.50
2	4819.50	1200.00	3619.50	180.97	1019.03	7419.97	12580.03
3	4819.50	1200.00	3619.50	371.00	829.00	11410.46	8589.54
4	4819.50	1200.00	3619.50	570.52	629.48	15600.48	4399.52
5	4819.50	1200.00	3619.50	780.02	419.98	20000.00	0.00
合計	24097.48	6000.00	18097.48	1902.52	4097.48	*	*

償債基金期末還款計算表（債務償還計算表IV）
金額    利率    基金利率    期限   運 行

注：設置參數後（利率\(\not=\)基金利率，二者相等時爲等額償債基金，等價於等額分期還款），點擊「運 行」按鈕，得到各項分期償還指標。

3、壽險精算代碼窗口

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代碼窗口

注：可將例題實例代碼複製、粘貼到「代碼窗口」，點擊「運行代碼」得到計算結果（鼠標選擇實例代碼\(\rightarrow\)Ctrl+C:複製\(\rightarrow\)鼠標點擊「代碼窗口」使其得到焦點\(\rightarrow\)Ctrl+V:粘貼）
運行代碼

代碼運行效果

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