讀書筆記: 博弈論導論 - 15 - 不完整信息的動態博弈序貫理性

時間 2019-11-10

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讀書筆記: 博弈論導論 - 15 - 不完整信息的動態博弈序貫理性

在不完整信息中的序貫理性(Sequential Rationality with Incomplete Information)

本文是Game Theory An Introduction (by Steven Tadelis) 的學習筆記。html

子博弈精煉(subgame perfection)

序貫理性就是要求玩家老是選擇最佳反應。
子博弈精煉是要求玩家在每一個信息集上老是選擇最佳反應。node

在均衡路徑上(on the equilibrium path), 不在均衡路徑上(off the equilibrium path)
\(\sigma^* = (\sigma_1^*, \cdots, \sigma_n^*)\)是一個不完整信息博弈的貝葉斯納什均衡。
咱們說一個信息集在均衡路徑上(on the equilibrium path)，若是給定的\(\sigma^*\)和類型分佈，這個信息集有正可能性到達。
咱們說一個信息集不在均衡路徑上(off the equilibrium path)，若是給定的\(\sigma^*\)和類型分佈，這個信息集被到達的可能性爲0。學習
信念體系
一個信念體系\(\mu\),在一個擴展形式博弈中，給每一個信息集的每一個決策點(decision node)都分配了一個機率。
\[ \mu(x) \in [0, 1] \\ \sum_{x \in h} \mu(x) = 1, \forall h \in H \]ui
貝葉斯規則(Bayes' Rule)
\(\Pr \{A|B \} = \frac{\Pr \{A \land B \} }{\Pr \{A \land B \} + \Pr \{\lnot A \land B \}}\)spa

精煉貝葉斯均衡(perfect Bayesian equilibrium)的四個需求：設計

需求 15.1
每一個玩家在每一個信息集上，都將有一個意義明確的信念（關於他的位置）。也就是說博弈將有一個信念體系。
需求 15.2
\(\sigma^* = (\sigma_1^*, \cdots, \sigma_n^*)\)是一個不完整信息博弈的貝葉斯納什均衡，咱們要求在全部信息集上，在均衡路徑上的信念符合貝葉斯規則。
需求 15.3
對於不在均衡路徑上的信息集，其信念值能夠是任何值。
需求 15.4
給定玩家的信念，玩家的策略必須是序貫理性。也就是說在每個信息集上，玩家將選擇信念對應的最佳反應。orm
精煉貝葉斯均衡(perfect Bayesian equilibrium)
若是知足需求15.1 ~ 15.4，一個貝葉斯納什均衡\(\sigma^* = (\sigma_1^*, \cdots, \sigma_n^*)\)和一個信念體系\(\mu^*\)構成一個精煉貝葉斯均衡。htm

精煉貝葉斯均衡也是貝葉斯納什均衡和子博弈精煉均衡。blog

推論 15.1
一個（多是混合的）策略組合\(\sigma^* = (\sigma_1^*, \cdots, \sigma_n^*)\)是一個貝葉斯博弈\(\Gamma\)的貝葉斯納什均衡，
若是策略組合\(\sigma^*\)能使全部的信息集都有具備可能性到達，
則策略組合\(\sigma^*\)和(從這個策略組合\(\sigma^*\)和類型的機率分佈得到的)信仰系統\(\mu^*\)一塊兒，
就構成了一個精煉貝葉斯均衡(perfect Bayesian equilibrium)。ip

序貫均衡(Sequential Equilibrium)

一致的策略組合和信念體系
一個策略組合\(\sigma^* = (\sigma_1^*, \cdots, \sigma_n^*)\)和一個信念體系\(\mu^*\)是一致的，
若是存在一系列的非退化的混合策略組合\(\{ \sigma^k \}_{k=1}^{\infty}\)和一系列(根據貝葉斯規則得到的)信任\(\{ \mu^k \}_{k=1}^{\infty}\)，
有\(\lim_{k \to \infty} (\sigma^k, \mu^k) = (\sigma^*, \mu^*)\)。

解釋：