讀書筆記: 博弈論導論 - 07 - 完整信息的動態博弈預備知識

時間 2019-11-10

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讀書筆記: 博弈論導論 - 07 - 完整信息的動態博弈預備知識

完整信息的動態博弈預備知識

本文是Game Theory An Introduction (by Steven Tadelis) 的學習筆記。html

動態博弈(Dynamic Games)

靜態博弈是每一個玩家同時(而且在不知道其餘玩家選擇的狀況下)作出選擇。
動態博弈引進了玩家作出選擇的前後次序。
注意：玩家i作出了選擇後，玩家j知道玩家i作出了選擇，可是不必定知道玩家i作出了什麼選擇。node

擴展形式博弈(The Extensive-Form Game)

擴展形式博弈的表達結構:函數

Set of player, N.
Players payoff as a function of outcomes, \(\{ v( \cdot ) \}_{i \in N}\).
Order of moves.
Actions of players when they can move.
The knowledge that players have when they can move.
Probability distributions over exogenous events.
"exogenous"是指預先肯定的分佈機率天然選擇（不依賴於玩家的選擇）
The structure of the extension-form game represented by 1-6 is common knowledge among all the players.

博弈樹(game tree)

博弈樹
博弈樹用來表示擴展形式博弈。
一個博弈樹是一個帶前後關係\(x > x'\)的節點集合\(x \in X\)。
\(x > x'\)表示x在x'以前。
每一個節點只有一個父。
前後關係(precedence relation)具備：
傳遞性(transitive): \(x > x', x' > x'' \implies x > x''\)
不對稱性(asymmetric): \(x > x' \implies \ not \ x' > x\)
不完整性(incomplete): 不是每一對x, y有前後次序。
有一個根節點，標記爲\(x_0\)，是其它全部節點的祖先。
沒有子的節點稱爲末端節點(terminal nodes)，表示爲\(Z \subset X\)。
末端節點表示爲結果，並關聯收益函數。
非末端節點被賦予1)一個玩家\(i(x)\)，和行動集合\(A_i(x)\)，或者2)天然(Nature)。學習
信息集合列表(the collection of information set of player i)
玩家i的信息集合(information set)列表，每一個信息集合\(h_i \in H_i\)博弈樹中的玩家i運行的部分節點，具備如下屬性：
1. 若是\(h_i = \{ x \}\)是一個單例集合，則運行\(x\)的玩家i知道他位於\(x\)節點上。
2. 若是\(h_i = \{ x, x', \cdots \}\)，則運行\(x\)的玩家i不知道他位於\(x\)節點上仍是位於\(x'\)節點上。
3. 若是\(h_i = \{ x, x', \cdots \}\)，則\(A_i(x') = A_i(x)\)。

更多的解釋，這是爲完美信息的定義打鋪墊。
若是玩家i的信息集列表都是\(h_i = \{ x \}\)，則代表玩家i知道：1) 行動次序, 2)對方的行動是什麼。
若是玩家i的信息集列表存在是\(h_i = \{ x, x', \cdots \}\)，則代表玩家i知道：1) 行動次序。可是不知道： 1）對方的行動是什麼。
這是致使玩家i： 1）性質2：不決定位於博弈樹上的那個節點，所以，性質3：\(A_i(x') = A_i(x)\)也必然成立。ui

完美信息博弈
一個完整信息博弈中，每一個玩家i的每一個信息集都是單例集合，而且沒有天然(Nature)選擇，則這個博弈是完美信息博弈。
不完美信息博弈
一個完整信息博弈中，存在一些信息集不是單例集合，或者有天然(Nature)選擇，則這個博弈是完美信息博弈。

能夠將天然選擇理解爲擲骰子、抽籤、盲牌。spa

擴展形式博弈的純策略
玩家i的一個純策略是一個完整計劃，描述了在每個信息集合上，玩家i會選擇哪一個純行動。orm
擴展形式博弈的純策略
玩家i的一個純策略是影射: \(s_i: H_i \to A_I\),對於每一個信息集\(h_i \in H_i\)，有\(s_i(h_i) \in A_i(h_i)\)
\(A_i(h_i)\)表示玩家i的一個信息集對應的行動集合。htm
擴展形式博弈的策略數
\[ |S_i| = m_1 \times m_2 \times \cdots \times m_k \\ where \\ |S_i| \text{ : the number of elements in } S_i \\ m_j \text{ : the number of actions in the j-nd information set} \\ k \text{ : the number of information sets} \]blog
混合策略(mixed strategy)
一個混合策略是一個在各個純策略上的機率分佈。遊戲
行爲策略(behavioral strategy)
一個行爲策略：對每個信息集\(h_i \in H_i\)，有一個在各個行動\(a_i(h_i) \in A_i(h_i)\)上的機率分佈，表示爲
\(\sigma_i : H_i \to \Delta A_i(h_i)\)
\(\sigma_i(a_i(h_i))\) : 玩家i，在信息集\(h_i\)上，選擇行動\(a_i(h_i) \in A_i(h_i)\)的機率。
純策略 vs 混合策略 vs 行爲策略
純策略使用一個行動做爲策略結果。
混合策略在玩遊戲前是一個行爲的機率分佈，最終仍是使用了一個純策略。
行爲策略在玩遊戲前和玩的時候，都是一個行爲的機率分佈。
完美回憶博弈(a game of perface recall)
在完美回憶博弈中，每一個玩家都不會忘記以前知道的信息集。
均衡路徑(the equilibrium path)
在一個擴展形式博弈中，行爲策略的納什均衡\(\sigma^* = (\sigma_1^*, \cdots, \sigma_n^*)\)。
若是一個信息集有可能到達這個納什均衡\(\sigma^*\)，則稱這個信息集在均衡路徑上。
若是一個信息集不可能到達這個納什均衡\(\sigma^*\)，則稱這個信息集不在均衡路徑上。