OpenGL學習腳印: 投影矩陣和視口變換矩陣(math-projection and viewport matrix)

寫在前面 
前面幾節分別介紹了模型變換，視變換，本節繼續學習OpenGL座標變換過程中的投影變換。這裏主要是從數學角度推導投影矩陣。對數學不感興趣的，可以稍微瞭解下，或者跳過本節內容。

本文主要翻譯並整理自 songho OpenGL Projection Matrix一文，這裏對他的推導思路稍微進行了整理。

通過本節可以瞭解到

• 透視投影矩陣的推導
• 正交投影矩陣的 推導
• 視口變換矩陣的推導
• zFighting問題

投影變換

OpenGL最終的渲染設備是2D的，我們需要將3D表示的場景轉換爲最終的2D形式，前面使用模型變換和視變換將物體座標轉換到照相機座標系後，需要進行投影變換，將座標從相機—》裁剪座標系，經過透視除法後，變換到規範化設備座標系(NDC)，最後進行視口變換後，3D座標才變換到屏幕上的2D座標，這個過程如下圖所示：

投影變換通過指定視見體(viewing frustum)來決定場景中哪些物體將可能會呈現在屏幕上。在視見體中的物體會出現在投影平面上，而在視見體之外的物體不會出現在投影平面上。投影包括很多類型，OpenGL中主要考慮透視投影(perspective projection)和正交投影( orthographic projection)。兩者之間存在很大的區別，如下圖所示(圖片來自Modern OpenGL)：

上面的圖中，紅色和黃色球在視見體內，因而呈現在投影平面上，而綠色球在視見體外，沒有在投影平面上成像。

指定視見體通過(GLdouble left, GLdouble right, GLdouble bottom, GLdouble top, GLdouble nearVal, GLdouble farVal)6個參數來指定。注意在相機座標系下，相機指向-z軸，nearVal和farVal表示的剪裁平面分別爲:近裁剪平面z=−nearValz=−nearVal，以及遠裁剪平面z=−farValz=−farVal。推導投影矩陣，就要利用這6個參數。在OpenGL中成像是在近裁剪平面上完成。

透視投影矩陣的推導

透視投影中，相機座標系中點被映射到一個標準立方體中，即規範化設備座標系中，其中[l,r]映射到[−1,1][l,r]映射到[−1,1]，[b,t][b,t]映射到[-1,1]中，以及[n,f][n,f]被映射到[−1,1][−1,1]，如下圖所示： 

注意到上面的相機座標系爲右手系，而NDC中+z軸向內，爲左手系。

我們的目標

求出投影矩陣的目標就是要找到一個透視投影矩陣P使得下式成立： 

⎡⎣⎢⎢⎢xcyczcwc⎤⎦⎥⎥⎥=P∗⎡⎣⎢⎢⎢xeyezewe⎤⎦⎥⎥⎥[xcyczcwc]=P∗[xeyezewe]

⎡⎣⎢xnynzn⎤⎦⎥=⎡⎣⎢xc/wcyc/wczc/wc⎤⎦⎥[xnynzn]=[xc/wcyc/wczc/wc]

上面的除以 wclipwclip 過程被稱爲透視除法。要找到我們需要的矩陣P，我們需要利用兩個關係:

• 投影位置xpxp,ypyp和相機座標系中點xexe,ye之間關系。投影後對於z分量都是ye之間關係。投影后對於z分量都是z_{p}=-nearVal$。
• 利用xpxp，ypyp和xndc，yndcxndc，yndc關係求出xclip,yclipxclip,yclip。
• 利用znzn與zeze關係得出zclipzclip

計算投影平面上的位置

投影時原先位於相機座標系中的點p=(xe,ye,ze)p=(xe,ye,ze)投影到投影平面後，得到點p′=(xp,yp,−nearVal)p′=(xp,yp,−nearVal)。具體過程如下圖所示： 

需要空間想象一下，可以得出左邊的圖是俯視圖，右邊是側視圖。 
利用三角形的相似性，通過俯視圖可以計算得到: 
xpxe=−nzexpxe=−nze 
即:xp=xen−ze(1.1)(1.1)xp=xen−ze
同理通過側視圖可以得到： 
yp=yen−ze(1.2)(1.2)yp=yen−ze

由(1)(2)這個式子可以發現，他們都除以了−ze−ze這個量，並且與之成反比。這可以作爲透視除法的一個線索，因此我們的矩陣P的形式如下： 

⎡⎣⎢⎢⎢xcyczcwc⎤⎦⎥⎥⎥=⎡⎣⎢⎢⎢...0...0...−1...0⎤⎦⎥⎥⎥∗⎡⎣⎢⎢⎢xeyezewe⎤⎦⎥⎥⎥[xcyczcwc]=[............00−10]∗[xeyezewe]

也就是說 wc=−zewc=−ze 。 
下面利用投影點和規範化設備座標的關係計算出矩陣P的前面兩行。 
對於投影平面上 xpxp 滿足 [l,r][l,r] 線性映射到 [−1,1][−1,1] 對於 ypyp 滿足 [b,t][b,t] 線性映射到 [−1,1][−1,1] 。

其中xpxp的映射關係如下圖所示：

則可以得到xpxp的線性關係： 
xn=2r−lxp+β(1.3)(1.3)xn=2r−lxp+β
將(r,1)帶入上式得到： 
β=−r+lr−lβ=−r+lr−l 
帶入式子3得到： 
xn=2r−lxp−r+lr−l(1.4)(1.4)xn=2r−lxp−r+lr−l
將式子1帶入式子5得到： 

xn=2xenr−l∗1−ze−r+lr−l=(2xenr−l+r+lr−l∗ze)−ze(1.5)(1.5)xn=2xenr−l∗1−ze−r+lr−l=(2xenr−l+r+lr−l∗ze)−ze

由式子6可以得到: 
xc=2nr−lxe+r+lr−l∗ze(1.6)(1.6)xc=2nr−lxe+r+lr−l∗ze

對於ypyp的映射關係如下： 
 
同理也可以計算得到: 

yn=2yent−b∗1−ze−t+bt−b=(2yent−b+t+bt−b∗ze)−ze(1.7)(1.7)yn=2yent−b∗1−ze−t+bt−b=(2yent−b+t+bt−b∗ze)−ze

yc=2nt−bye+t+bt−b∗ze(1.8)(1.8)yc=2nt−bye+t+bt−b∗ze

由式子7和9可以得到矩陣P的前兩行和第四行爲： 

⎡⎣⎢⎢⎢xcyczcwc⎤⎦⎥⎥⎥=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢2nr−l0.002nt−b.0r+lr−lt+bt−b.−100.0⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥∗⎡⎣⎢⎢⎢xeyezewe⎤⎦⎥⎥⎥[xcyczcwc]=[2nr−l0r+lr−l002nt−bt+bt−b0....00−10]∗[xeyezewe]

由於zeze投影到平面時結果都爲−n−n，因此尋找znzn與之前的x,y分量不太一樣。我們知道znzn與x,y分量無關，因此上述矩陣P可以書寫爲： 

⎡⎣⎢⎢⎢xcyczcwc⎤⎦⎥⎥⎥=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢2nr−l00002nt−b00r+lr−lt+bt−bA−100B0⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥∗⎡⎣⎢⎢⎢xeyezewe⎤⎦⎥⎥⎥[xcyczcwc]=[2nr−l0r+lr−l002nt−bt+bt−b000AB00−10]∗[xeyezewe]

則有：zn=Aze+Bwe−zezn=Aze+Bwe−ze,由於相機座標系中we=1we=1，則可以進一步書寫爲： 
zn=Aze+B−ze(1.9)(1.9)zn=Aze+B−ze

要求出係數A,B則，利用znzn與zeze的映射關係爲：(-n，-1)和(-f,1)，代入式子10得到： 
A=−f+nf−nA=−f+nf−n和B=−2fnf−nB=−2fnf−n， 
則znzn與zeze的關係式表示爲： 
zn=−f+nf−nze−2fnf−n−ze(1.10)(1.10)zn=−f+nf−nze−2fnf−n−ze
將A，B代入矩陣P得到：

P=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢2nr−l00002nt−b00r+lr−lt+bt−b−(f+n)f−n−100−2fnf−n0⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥(透視投影矩陣)(透視投影矩陣)P=[2nr−l0r+lr−l002nt−bt+bt−b000−(f+n)f−n−2fnf−n00−10]

上述矩陣時一般的視見體矩陣，如果視見體是對稱的，即滿足r=−l,t=−br=−l,t=−b，則矩陣P可以簡化爲： 

P=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢nr0000nt0000−(f+n)f−n−100−2fnf−n0⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥(簡化的透視投影矩陣)(簡化的透視投影矩陣)P=[nr0000nt0000−(f+n)f−n−2fnf−n00−10]

使用Fov指定的透視投影

另外一種經常使用 的方式是通過視角(Fov)，寬高比(Aspect)來指定透視投影，例如舊版中函數gluPerspective，參數形式爲：

API void gluPerspective(GLdouble fovy, GLdouble aspect, GLdouble zNear, GLdouble zFar);

其中指定fovy指定視角，aspect指定寬高比，zNear和zFar指定剪裁平面。fovy的理解如下圖所示(來自opengl 投影)： 

這些參數指定的是一個對稱的視見體，如下圖所示(圖片來自Working with 3D Environment)： 

由這些參數，可以得到： 
h=near∗tan(θ2)h=near∗tan(θ2) 
w=h∗aspectw=h∗aspect 
對應上述透視投影矩陣中： 
r=−l,r=wr=−l,r=w 
t=−b,t=ht=−b,t=h 
則得到透視投影矩陣爲： 

P=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢cot(θ2)aspect0000cot(θ2)0000−(f+n)f−n−100−2fnf−n0⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥(Fov透視投影矩陣)(Fov透視投影矩陣)P=[cot(θ2)aspect0000cot(θ2)0000−(f+n)f−n−2fnf−n00−10]

正交投影矩陣的推導

相比於透視投影，正交投影矩陣的推導要簡單些，如下圖所示： 

對於正交投影，有xp=xe,yp=yexp=xe,yp=ye，因而可以直接利用xexe與xnxn的映射關係：[l,−1],[r,1][l,−1],[r,1]，利用yeye和ynyn的映射關係：[b,−1],[t,1][b,−1],[t,1]，以及zeze和znzn的映射關係：[−n,−1],[−f,1][−n,−1],[−f,1]。例如xexe與xnxn的映射關係表示爲如下圖所示：

利用[l,−1],[r,1][l,−1],[r,1]得到:

xn=2r−lxe−r+lr−l(2.1)(2.1)xn=2r−lxe−r+lr−l
同理可得到y,z分量的關係式爲： 
yn=2t−bye−t+bt−b(2.2)(2.2)yn=2t−bye−t+bt−b
zn=−2f−nze−f+nf−n(2.3)(2.3)zn=−2f−nze−f+nf−n

對於正交投影而言，w成分是不必要的，保持爲1即可，則所求投影矩陣第四行爲(0,0,0,1)，w保持爲1，則NDC座標和剪裁座標相同，從而得到正交投影矩陣爲: 

O=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢2r−l00002t−b0000−2f−n0−r+lr−l−t+bt−b−f+nf−n1⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥(正交投影矩陣)(正交投影矩陣)O=[2r−l00−r+lr−l02t−b0−t+bt−b00−2f−n−f+nf−n0001]

如果視見體是對稱的，即滿足r=−l,t=−br=−l,t=−b，則矩陣O可以簡化爲： 

O=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢1r00001t0000−2f−n000−f+nf−n1⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥(簡化正交投影矩陣)(簡化正交投影矩陣)O=[1r00001t0000−2f−n−f+nf−n0001]

利用平移和旋轉推導正交投影矩陣

還可以看做把視見體的中心移動到規範視見體的中心即原點處，然後縮放視見體使得它的每條邊長度都爲2，進行這一過程的變換表示爲： 

O=S(2/(r−l),2/(t−b),2/(near−far))∗T(−(r+l)/2,−(t+b)/2,(f+n)/2)=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢2r−l00002t−b00002n−f00001⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥∗⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢100001000010−r+l2−t+b2f+n21⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢2r−l00002t−b0000−2f−n0−r+lr−l−t+bt−b−f+nf−n1⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥O=S(2/(r−l),2/(t−b),2/(near−far))∗T(−(r+l)/2,−(t+b)/2,(f+n)/2)=[2r−l00002t−b00002n−f00001]∗[100−r+l2010−t+b2001f+n20001]=[2r−l00−r+lr−l02t−b0−t+bt−b00−2f−n−f+nf−n0001]

視口變換矩陣的推導

視變換是將NDC座標轉換爲顯示屏幕座標的過程，如下圖所示：

 
視口變化通過函數: 
glViewport(GLint sxsx , GLint sysy , GLsizei wsws , GLsizei hshs); 
glDepthRangef(GLclampf nsns , GLclampf fsfs );

兩個函數來指定。其中(sxsx,sysy)表示窗口的左下角，nsns和 fsfs指定遠近剪裁平面到屏幕座標的映射關係。 
使用線性映射關係如下：

(−1,sx),(1,sx+ws)(x分量映射關系)(x分量映射關係)(−1,sx),(1,sx+ws)
(−1,sy),(1,sy+hs)(y分量映射關系)(y分量映射關係)(−1,sy),(1,sy+hs)
(−1,ns),(1,fs)(z分量映射關系)(z分量映射關係)(−1,ns),(1,fs)

求出線性映射函數爲: 
xs=ws2xn+sx+ws2(3.1)(3.1)xs=ws2xn+sx+ws2
ys=hs2yn+sy+hs2(3.2)(3.2)ys=hs2yn+sy+hs2
zs=fs−ns2zn+ns+fs2(3.3)(3.3)zs=fs−ns2zn+ns+fs2
則由上述式子得到視口變換矩陣爲： 

viewPort=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢ws20000hs20000fs−0000fs−ns20