計算機立體視覺之-相機針孔模型

　　相機模型是將三維世界中的物體投影到二維相機平面中。常見的相機模型有針孔模型（pinhole model）和全景模型（omni-directional model，即一般稱爲魚眼相機的模型）。針孔模型是光學相機模型中最多見的模型，也是最簡單的一種。針孔模型通常使用在CCD相機中，但其餘成像圖片也能夠使用此模型，好比醫用X光圖片。雖然相機通常都不是理想的針孔模型，但在立體視覺處理中，通常將其抽象爲針孔模型，並在相機標定時，加入畸變參數。針孔模型的標定是經典的計算機視覺問題，有着普遍的研究，網上的資料也必將多，這裏再也不贅述。

基本針孔模型

　　在歐式空間中，針孔模型由三維世界投影在相機平面中。針孔模型將空間三維點 X = (X, Y, Z)^T投影到像平面上。按照圖像的習慣，通常從左到右爲 $x$ 軸的正方向，從上到下爲 $y$ 軸的正方向。故方面起見，對應的世界座標系同圖像保持一致。爲了方便同空間座標區分，圖像座標通常用 $x = (u, v)$表示。

　　通過遠點與圖像垂直的軸稱爲Principle Axis，爲相機座標系下的Z軸方向。如圖1所示。

　　

圖1. 針孔模型的空間抽象

　　根據類似三角形原理，能夠很容易獲空間點X得其對應關係，即X = (X, Y, Z)^T投影到 $(fX/Z, fY/Z, f)^T$。因此

$$ (u, v) = (fX/Z, fY/Z) $$

　　用齊次座標來表示則有以下轉換關係

$$\begin{pmatrix} X \\ Y \\ X \\ 1 \end{pmatrix}\rightarrow \begin{pmatrix} fX \\ fY \\ Z \end{pmatrix} =\begin{bmatrix} f & & & 0 \\ & f & & 0 \\ & & 1 & 0 \end{bmatrix}\begin{pmatrix} X \\ Y \\ X \\ 1 \end{pmatrix}$$

　　其中x表示齊次座標系下的圖像點，X表示齊次座標系下的空間點。上面公式能夠寫成 x = PX。

攝像機內參

　　

$$ \begin{bmatrix} f_{x} & & c_{x} \\ & t_{y} & c_{y} \\ & & 1 \end{bmatrix} $$