曲率的理解

曲率

曲率 是衡量彎曲的程度。

曲率的直觀感覺

方便引入曲率的概念，先從兩個特殊的例子來直觀上感覺曲率

直線

對直線來講，沒有彎曲的地方，顯然曲率處處都是0。

圓

對圓來講，任何地方的曲率都是相同的，因此圓的曲率是個常數。直觀上來看，半徑大的圓比半徑小的圓更"平直"一些，那麼大圓的曲率相比來講就要小一些。

怎麼量化圓的曲率呢？

假設圓的半徑爲R，弧長爲\[2 \pi R\]，那麼曲率=\[\frac{2 \pi}{2 \pi R} = \frac{1}{R}\] 。

通常化推導

對圓的局部而言，圓的彎曲程度 能夠用 切線斜角的變化 與 弧長變化 之商 來表示。

舉個例子，

如上圖所示，從P點到Q點，切線角的變化量爲\[\angle POQ\]，弧長的變化爲\[\widehat{PQ}\]，因此曲率=\[\frac{\angle POQ}{\widehat{PQ}}=\frac{\theta}{\theta*R}=\frac{1}{R}\]。

對通常曲線而言，

如上圖所示，曲線從P點到Q點，切線角的變化量爲\[\theta​\]，將其除以弧長的變化量\[\widehat{PQ}​\]，而後讓Q逼近P點，

極限值 = \[\lim_{Q \to P} \frac{\theta}{\widehat{PQ}}\]，便可獲得曲線在P點的曲率。

從這個推到也能夠看出，直線的曲率爲0，圓的曲率爲其半徑的倒數。

最後，來兩張比較好的圖