遊戲開發的數學基礎

座標系

2D：

數學：笛卡爾座標系
計算機(屏幕座標系)：以屏幕左上角(標準座標系)或者屏幕左下角(Cocos2d)爲原點

3D

左手系 unity
右手系

Y UP 3dmax

Z UP maya

向量

具備大小和方向，通常經常使用於表示勢能、位移和速度。有時咱們也用向量來表示一個單個方向，好比玩家在3D遊戲中觀察的方向、多邊形面對的方向、光線的傳播方向以及從一個物體表面折回的反射光方向。

A(x1,y1,z1) B(x2,y2,z2)
AB=(x2-x1,y2-y1,z2-z1)

向量的數乘
n*(x,y,z) = (nx,ny,nz)

Unity下在cube下掛載下列程序，模擬x,y,z向移動

using System.Collections;
using System.Collections.Generic;
using UnityEngine;

public class axis : MonoBehaviour {

    public float speed = 0f;
    public Vector3 dir = new Vector3(0, 0, 0);

    // Use this for initialization
    void Start () {
        
    }
    
    // Update is called once per frame
    void Update () {
        Vector3 pre = this.gameObject.transform.position;
        Vector3 now = dir * speed + pre;

        this.gameObject.transform.position = now;
    }
}

自定義加減法和normalize，與Unity原身進行比較
新建Vector3d.cs，添加到component

using System.Collections;
using System;
using System.Collections.Generic;

public class Vector3d  {
    public float x, y, z;

    public Vector3d(float x=0f,float y=0f,float z = 0f)
    {
        this.x = x;
        this.y = y;
        this.z = z;
    } 

    public Vector3d(Vector3d vec)
    {
        this.x = vec.x;
        this.y = vec.y;
        this.z = vec.z;
    }

    public Vector3d add(Vector3d vec)
    {
        Vector3d ret = new Vector3d(x, y, z);
        ret.x += vec.x;
        ret.y += vec.y;
        ret.z += vec.z;
        return ret;
    }

    public Vector3d sub(Vector3d vec)
    {
        Vector3d ret = new Vector3d(x, y, z);
        ret.x -= vec.x;
        ret.y -= vec.y;
        ret.z -= vec.z;
        return ret;
    }

    public void normalize()
    {
        float length = (float)Math.Sqrt(x * x + y * y + z * z);
        x /= length;
        y /= length;
        z /= length;
    }

    public override string ToString()
    {
        return string.Format("("+x+","+y+","+z+")");
    }

    public static Vector3d operator +(Vector3d lv,Vector3d rv)
    {
        return lv.add(rv);
    }

    public static Vector3d operator -(Vector3d lv,Vector3d rv)
    {
        return lv.sub(rv);
    }
}

比較程序以下：

using System.Collections;
using System.Collections.Generic;
using UnityEngine;

public class axis : MonoBehaviour {

    public bool isEqual(Vector3d ov,Vector3 uv)
    {
        if (ov.x == uv.x && ov.y == uv.y && ov.z == uv.z)
        {
            return true;
        }
        return false;
    }

    void Start () {
        Vector3d ov1 = new Vector3d(1.1f, 1.2f, 1.3f) + new Vector3d(1, 2, 3);
        Vector3 uv1 = new Vector3(1.1f, 1.2f,1.3f) + new Vector3(1, 2, 3);
        if (isEqual(ov1, uv1))
        {
            Debug.Log("add equal ...");
        }
        Vector3d ov2 = new Vector3d(1.1f, 1.2f, 1.3f) - new Vector3d(1, 2, 3);
        Vector3 uv2 = new Vector3(1.1f, 1.2f, 1.3f) - new Vector3(1, 2, 3);
        if (isEqual(ov2, uv2))
        {
            Debug.Log("sub equal ...");
        }
        ov2.normalize();
        uv2.Normalize();
        if (isEqual(ov2, uv2))
        {
            Debug.Log("nrm equal ...");
        }

    }
}

叉積(cross product,知足左手法則，叉積不符合交換律，計算平面法線).定義：經過對u和v兩個3d向量計算叉積，結果第三個向量w同時垂直於u和v

u = (x1,y1,z1),v = (x2,y2,z2)
u x v = (y1*z2-z1*y2,z1*x2-x1*z2,x1*y2-y1*x2)

代碼以下：

public Vector3d cross(Vector3d vec)
{
    Vector3d ret = new Vector3d();
    ret.x = y * vec.z - z * vec.y;
    ret.y = z * vec.x - x * vec.z;
    ret.z = x * vec.y - y * vec.x;
    return ret;
}

比較結果：

Vector3d ov3 = new Vector3d(1, 2, 3).cross(new Vector3d(-5, 7, 10));
Vector3 uv3 = Vector3.Cross(new Vector3(1, 2, 3), new Vector3(-5, 7, 10));
if (isEqual(ov3, uv3))
{
    Debug.Log("cross equal ...");
}

點積(dot product).定義：標量

u = (x1,y1,z1),v = (x2,y2,z2)
u · v = x1*x2+y1*y2+z1*z2
餘弦定理：
u · v = |u||v|cos(a)

a爲u與v的夾角
u · v = 0,u與v相互垂直
u · v > 0,u與v夾角小於90
u · v < 0,u與v夾角大於90

模擬光照顏色

假如：u和v都是一個單位向量，
u · v = cos(a) => -1<=cos(a)<=1
用一個向量表示光照顏色。最後的平面的光照顏色=光照顏色*cos(a)

在Unity中新建一個小球，而後添加meterial，新建一個Shader，代碼以下，模擬光照效果：

Shader "Custom/Color" {
    Properties {
        _Color ("Light Color", Color) = (1,1,1,1)   // 白色
        _Dir ("Light Dir", Vector) = (0,0,1,0)
        _Intensity("Intensity",float) = 1.0
    }
    SubShader {
        Tags { "RenderType"="Opaque" }
        LOD 100
        Pass {
            CGPROGRAM
            #pragma vertex vert
            #pragma fragment frag
            #include "UnityCG.cginc"

            struct v2f {
                float4 vertex: POSITION;
                float3 normal: NORMAL;
            };

            fixed4 _Color;
            fixed4 _Dir;
            float _Intensity;

            v2f vert(appdata_base v) {
                v2f o;
                o.vertex = mul(UNITY_MATRIX_MVP, v.vertex);
                o.normal = v.normal;
                return o;
            }

            // 光照算法
            fixed4 frag(v2f i) : COLOR{
                fixed3 dir = fixed3(-_Dir.x, -_Dir.y, -_Dir.z);
                dir = normalize(dir);
                fixed3 nrm = normalize(i.normal);
                float bis = dot(dir, nrm);
                if (bis <= 0) {
                    bis = 0;
                }
                fixed4 col = _Color * bis * _Intensity; //光照顏色
                return col;
            }

            ENDCG
        }
    }
}

光照算法核心代碼：

// 光照算法
fixed4 frag(v2f i) : COLOR{
    fixed3 dir = fixed3(-_Dir.x, -_Dir.y, -_Dir.z);
    dir = normalize(dir);
    fixed3 nrm = normalize(i.normal);
    float bis = dot(dir, nrm);
    if (bis <= 0) {
        bis = 0;
    }
    fixed4 col = _Color * bis * _Intensity; //光照顏色
    return col;
}

效果以下：

矩陣

定義：一個m x n的矩陣M是一個m行n列的矩形實數數組。行和列指定了矩陣的維數。矩陣中數值稱爲元素。

咱們使用行和列的雙下標Mij來標識一個矩陣。i指定了元素所在行，j指定了元素所在的列。

矩陣相等：當且僅當兩個矩陣的對應元素相等時，這兩個矩陣相等；這兩個矩陣必須具備相同的行數和列數，才能進行比較。

矩陣的加、減法
矩陣的數乘

矩陣的乘法:知足分配律和結合律

A(B+C)=AB+AC
(AB)C=A(BC)

a * b = (b的轉置矩陣 * a的轉置矩陣)的轉置矩陣

代碼檢驗：

using System.Collections;
using System.Collections.Generic;
using UnityEngine;

public class axis : MonoBehaviour {

    // Use this for initialization
    void Start () {
        Matrix4x4 a = new Matrix4x4();
        for(int i = 0; i < 16; i++)
        {
            a[i] = Random.Range(1, 100.0f);
        }
        Matrix4x4 b = new Matrix4x4();
        for (int i = 0; i < 16; i++)
        {
            b[i] = Random.Range(1, 100.0f);
        }
        Debug.Log(a * b);

        // a * b = (b的轉置矩陣 * a的轉置矩陣)的轉置矩陣
        Matrix4x4 c = a.transpose;//轉置矩陣
        Matrix4x4 d = b.transpose;
        Debug.Log((d * c).transpose);
    }
    
    // Update is called once per frame
    void Update () {
       
    }
}

矩陣變換

位移

Debug.Log(this.transform.localToWorldMatrix);

(x,y,z,0)用於描述向量
(x,y,z,1)用於描述點
原始單位大小，位於原點：
1.00000 0.00000 0.00000 0.00000
0.00000 1.00000 0.00000 0.00000
0.00000 0.00000 1.00000 0.00000
0.00000 0.00000 0.00000 1.00000

在x軸-1單位，y軸2單位，z軸6單位：
1.00000 0.00000 0.00000 -1.00000
0.00000 1.00000 0.00000 2.00000
0.00000 0.00000 1.00000 6.00000
0.00000 0.00000 0.00000 1.00000

Debug.Log(this.transform.localToWorldMatrix.transpose);    // 轉置後對應座標原點

1.00000 0.00000 0.00000 0.00000
0.00000 1.00000 0.00000 0.00000
0.00000 0.00000 1.00000 0.00000
-1.00000 2.00000 6.00000 1.00000

矩陣縮放（Unity3d使用的時OpenGL，因此進行了轉置操做）

假設咱們經過一個最小點(-4,-4,0)和一個最大點(4,4,0)定義一個正方形，咱們但願將正方形沿着x軸縮小0.5倍，y軸放大2.0倍，z抽不變。那麼對應的縮放矩陣爲：
0.5 0 0 0
0 2 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1

顯示結果：
0.50000 0.00000 0.00000 0.00000
0.00000 2.00000 0.00000 0.00000
0.00000 0.00000 1.00000 0.00000
-1.00000 2.00000 6.00000 1.00000

旋轉

x(1,0,0)旋轉角度a，對應矩陣

1 0 0 0
0 cos(a) sin(a) 0
0 -sin(a) cos(a) 0
0 0 0 1

在x軸旋轉30度：

1.00000 0.00000 0.00000 0.00000
0.00000 0.86603 0.50000 0.00000
0.00000 -0.50000 0.86603 0.00000
0.00000 0.00000 0.00000 1.00000

射線與平面相交

如今給定射線 p(t)= p0 + t*u
平面：n·(p-p1)=0
那麼射線與平面的關係爲：
t=(n·p1 - n·p0)/n·u

若t>=0,則射線與平面相交，且交點爲p0+t*u 若t<0,則不相交