爲何使用四元數

轉載：http://www.game798.com/html/2007-05/3689.htm

好吧，我必須認可到目前爲止我尚未徹底理解四元數，我一度把四元數理解爲軸、角表示的4維向量，也就在下午我才從和同事的爭辯中理解了四元數不徹底是角、軸這麼簡單，爲此寫點心得給那些同我同樣搞了2年3D遊戲的還不清楚四元數的朋友。



爲何使用四元數

爲 了回答這個問題，先來看看通常關於旋轉（面向）的描述方法－歐拉描述法。它使用最簡單的x,y,z值來分別表示在x，y，z軸上的旋轉角度，其取值爲 0-360(或者0-2pi），通常使用roll，pitch，yaw來表示這些份量的旋轉值。須要注意的是，這裏的旋轉是針對世界座標系說的，這意味着 第一次的旋轉不會影響第2、三次的轉軸，簡單的說，三角度系統沒法表現任意軸的旋轉，只要一開始旋轉，物體自己就失去了任意軸的自主性，這也就致使了萬向 軸鎖（Gimbal Lock）的問題。

還有一種是軸角的描述方法（即我一直覺得的四元數的表示法），這種方法比歐拉描述要好，它避免了 Gimbal Lock，它使用一個3維向量表示轉軸和一個角度份量表示繞此轉軸的旋轉角度，即(x,y,z,angle)，通常表示爲(x,y,z,w)或者 (v,w)。但這種描述法卻不適合插值。

那到底什麼是Gimbal Lock呢？正如前面所說，由於歐拉描述中針對x,y,z的旋轉描述是世界座標系下的值，因此當任意一軸旋轉90°的時候會致使該軸同其餘軸重合，此時旋 轉被重合的軸可能沒有任何效果，這就是Gimbal Lock，這裏有個例子演示了Gimbal Lock，點擊這裏下載。運行這個例子，使用左右箭頭改變yaw爲90°，此時不論是使用上下箭頭仍是Insert、Page Up鍵都沒法改變Pitch，而都是改變了模型的roll。

那麼軸、角的描述方法又有什麼問題呢？雖然軸、角的描述解決了Gimbal Lock，但這樣的描述方法會致使差值不平滑，差值結果可能跳躍，歐拉描述一樣有這樣的問題。



什麼是四元數

四元數通常定義以下：

q=w+xi+yj+zk

其中w是實數，x,y,z是虛數，其中:

i*i=-1

j*j=-1

k*k=-1

也能夠表示爲：

q=[w,v]

其中v=(x,y,z)是矢量，w是標量，雖然v是矢量，但不能簡單的理解爲3D空間的矢量，它是4維空間中的的矢量，也是很是不容易想像的。

四元數也是能夠歸一化的，而且只有單位化的四元數才用來描述旋轉（面向），四元數的單位化與Vector相似，

首先||q|| = Norm(q)=sqrt(w2 + x2 + y2 + z2)

由於w2 + x2 + y2 + z2=1

因此Normlize(q)=q/Norm(q)=q / sqrt(w2 + x2 + y2 + z2)

說了這麼多，那麼四元數與旋轉到底有什麼關係？我之前一直認爲軸、角的描述就是四元數，若是是那樣其與旋轉的關係也不言而喻，但並非這麼簡單，軸、角描述到四元數的轉化：

w = cos(theta/2)

x = ax * sin(theta/2)

y = ay * sin(theta/2)

z = az * sin(theta/2)

其 中(ax,ay,az)表示軸的矢量，theta表示繞此軸的旋轉角度，爲何是這樣？和軸、角描述到底有什麼不一樣？這是由於軸角描述的「四元組」並非 一個空間下的東西，首先（ax,ay,az）是一個3維座標下的矢量，而theta則是級座標下的角度，簡單的將他們組合到一塊兒並不能保證他們插值結果的 穩定性，由於他們沒法歸一化，因此不能保證最終插值後獲得的矢量長度（通過旋轉變換後兩點之間的距離）相等，而四元數在是在一個統一的4維空間中，方便歸 一化來插值，又能方便的獲得軸、角這樣用於3D圖像的信息數據，因此用四元數再合適不過了。



關於四元數的運算法則和推導這裏有篇詳細的文章介紹，重要的是一點，相似與Matrix的四元數的乘法是不可交換的，四元數的乘法的意義也相似於Matrix的乘法－能夠將兩個旋轉合併，例如：

Q=Q1*Q2

表示Q的是先作Q2的旋轉，再作Q1的旋轉的結果，而多個四元數的旋轉也是能夠合併的，根據四元數乘法的定義，能夠算出兩個四元數作一次乘法須要16次乘法和加法，而3x3的矩陣則須要27運算，因此當有屢次旋轉操做時，使用四元數能夠得到更高的計算效率。



爲何四元數能夠避免Gimbal Lock

在歐拉描述中，之因此會產生Gimbal Lock是由於使用的三角度系統是依次、順序變換的，若是在OGL中，代碼可能這樣：

glRotatef( angleX, 1, 0, 0)

glRotatef( angleY, 0, 1, 0)

glRotatef( angleZ, 0, 0, 1)



注意：以上代碼是順序執行，而使用的又是統一的世界座標，這樣當首先旋轉了Y軸後，Z軸將再也不是原來的Z軸，而可能變成X軸，這樣針對Z的變化可能失效。

而四元數描述的旋轉代碼多是這樣：

TempQ = From Eula(x,y,z)

FinalQ =CameraQ * NewQ

theta, ax, ay, az = From (FinalQ)

glRotatef(theta, ax, ay, az);

其中(ax,ay,az)描述一條任意軸，theta描述了繞此任意軸旋轉的角度，而全部的參數都來自於全部描述旋轉的四元數作乘法以後獲得的值，能夠看出這樣一次性的旋轉不會帶來問題。這裏有個例子演示了使用四元數不會產生Gimbal Lock的問題。



關於插值

使用四元數的緣由就是在於它很是適合插值，這是由於他是一個能夠規格化的4維向量，最簡單的插值算法就是線性插值，公式如：

q(t)=(1-t)q1+t q2

但這個結果是須要規格化的，不然q(t)的單位長度會發生變化，因此

q(t)=(1-t)q1+t q2 / || (1-t)q1+t q2 ||

如圖:



儘管線性插值頗有效，但不能以恆定的速率描述q1到q2之間的曲線，這也是其弊端，咱們須要找到一種插值方法使得q1->q(t)之間的夾角θ是線性的，即θ(t)=(1-t)θ1+t*θ2，這樣咱們獲得了球形線性插值函數q(t)，以下：

q(t)=q1 * sinθ(1-t)/sinθ + q2 * sinθt/sineθ

若是使用D3D，能夠直接使用D3DXQuaternionSlerp函數就能夠完成這個插值過程。