復旦大學2018--2019學年第一學期（18級）高等代數I期末考試第七大題解答

7、(本題10分)  設 $V$ 爲 $n$ 維線性空間, $\varphi,\psi$ 是 $V$ 上的線性變換, 知足 $\varphi\psi=\varphi$. 證實: $\mathrm{Ker}\varphi\cap\mathrm{Im}\psi=0$ 的充要條件是 $r(\varphi)=r(\psi)$.

證實  咱們給出六種不一樣的證法, 括號內是證實思想的關鍵詞.

幾何證法1 (和空間與直和)  由 $\varphi(I_V-\psi)=0$ 可知, 對任意的 $\alpha\in V$, $\alpha-\psi(\alpha)\in\mathrm{Ker}\varphi$, 從而 $\alpha=(\alpha-\psi(\alpha))+\psi(\alpha)\in\mathrm{Ker}\varphi+\mathrm{Im}\psi$, 因而 $V=\mathrm{Ker}\varphi+\mathrm{Im}\psi$. 由和交空間維數公式和線性映射維數公式可得: $$n=\dim V=\dim(\mathrm{Ker}\varphi+\mathrm{Im}\psi)=\dim\mathrm{Ker}\varphi+\dim\mathrm{Im}\psi-\dim(\mathrm{Ker}\varphi\cap\mathrm{Im}\psi)$$ $$=n-r(\varphi)+r(\psi)-\dim(\mathrm{Ker}\varphi\cap\mathrm{Im}\psi),$$ 從而 $\dim(\mathrm{Ker}\varphi\cap\mathrm{Im}\psi)=r(\psi)-r(\varphi)$, 由此即得充要條件. 另外, 也能夠用 $V=\mathrm{Ker}\oplus\mathrm{Im}\psi$ 等價於 $\mathrm{Ker}\varphi\cap\mathrm{Im}\psi=0$ 代替上述討論.

幾何證法2 (映射限制)  將線性變換 $\varphi$ 的定義域限制在 $\mathrm{Im}\psi$ 上可得線性映射 $\varphi_1=\varphi|_{\mathrm{Im}\psi}:\mathrm{Im}\psi\to V$. 由限制的定義 (定義域變小, 映射法則不變) 可知, $\mathrm{Ker}\varphi_1=\mathrm{Ker}\varphi\cap\mathrm{Im}\psi$ 且 $\mathrm{Im}\varphi_1\subseteq\mathrm{Im}\varphi$. 由 $\varphi\psi=\varphi$ 可知, 對任意的 $\alpha\in V$, $\varphi(\alpha)=\varphi(\psi(\alpha))=\varphi_1(\psi(\alpha))$, 從而 $\mathrm{Im}\varphi_1=\mathrm{Im}\varphi$. 由線性映射的維數公式可知 $\dim\mathrm{Ker}\varphi_1+\dim\mathrm{Im}\varphi_1=\dim\mathrm{Im}\psi$, 即有 $\dim(\mathrm{Ker}\varphi\cap\mathrm{Im}\psi)=r(\psi)-r(\varphi)$, 由此即得充要條件.

幾何證法3 & 代數證法1 (同解)  注意到 $\mathrm{Ker}\varphi\cap\mathrm{Im}\psi=0$ 等價於, 對任意的 $\beta\in V$, 若 $\varphi(\psi(\beta))=0$, 則 $\psi(\beta)=0$, 這等價於 $\mathrm{Ker}\varphi\psi=\mathrm{Ker}\psi$ (注意: $\mathrm{Ker}\psi\subseteq\mathrm{Ker}\varphi\psi$ 顯然成立), 這等價於 $\dim\mathrm{Ker}\varphi\psi=\dim\mathrm{Ker}\psi$, 由線性映射的維數公式可知, 這等價於 $r(\varphi)=r(\varphi\psi)=r(\psi)$. 咱們也能夠把問題轉化爲代數的語言: 設 $A,B$ 爲 $n$ 階方陣, 知足 $AB=A$, 證實: $ABx=0$ 的解必爲 $Bx=0$ 的解等價於 $r(A)=r(B)$. 證實跟幾何版本基本一致. 因爲 $Bx=0$ 的解也是 $ABx=0$ 的解, 即 $V_B\subseteq V_{AB}$, 故 $V_{AB}=V_B$ 等價於 $\dim V_{AB}=\dim V_B$, 這等價於 $r(A)=r(AB)=r(B)$.

幾何證法4 (比較核空間)  這種證法的注意力是放在直接比較 $\mathrm{Ker}\varphi$ 和 $\mathrm{Ker}\psi$ 上. 首先, 由 $\varphi\psi=\varphi$ 易證 $\mathrm{Ker}\psi\subseteq\mathrm{Ker}\varphi$. 充分性: 若 $r(\varphi)=r(\psi)$, 則由線性映射的維數公式可知 $\dim\mathrm{Ker}\psi=\dim\mathrm{Ker}\varphi$, 從而 $\mathrm{Ker}\psi=\mathrm{Ker}\varphi$. 任取 $\alpha\in\mathrm{Ker}\varphi\cap\mathrm{Im}\psi$, 則 $\varphi(\alpha)=0$ 且存在 $\beta\in V$, 使得 $\alpha=\psi(\beta)$, 因而 $0=\varphi(\alpha)=\varphi(\psi(\beta))=\varphi(\beta)$, 即 $\beta\in\mathrm{Ker}\varphi=\mathrm{Ker}\psi$, 從而 $\alpha=\psi(\beta)=0$, 因而 $\mathrm{Ker}\varphi\cap\mathrm{Im}\psi=0$. 必要性: 若 $\mathrm{Ker}\varphi\cap\mathrm{Im}\psi=0$, 則任取 $\alpha\in\mathrm{Ker}\varphi$, 有 $0=\varphi(\alpha)=\varphi(\psi(\alpha))$, 從而 $\psi(\alpha)\in\mathrm{Ker}\varphi\cap\mathrm{Im}\psi=0$, 即 $\alpha\in\mathrm{Ker}\psi$, 因而 $\mathrm{Ker}\varphi\subseteq\mathrm{Ker}\psi$, 所以 $\mathrm{Ker}\psi=\mathrm{Ker}\varphi$, 由線性映射的維數公式即得 $r(\varphi)=r(\psi)$.

幾何證法5 (基擴張與基的斷定)  取 $\mathrm{Ker}\varphi$ 的一組基 $\{e_{r+1},\cdots,e_n\}$, 並擴張爲 $V$ 的一組基 $\{e_1,\cdots,e_r,e_{r+1},\cdots,e_n\}$. 由高代白皮書的例 4.20 可知, $\{\varphi(e_1),\cdots,\varphi(e_r)\}$ 是 $\mathrm{Im}\varphi$ 的一組基. 由 $\varphi(\psi(e_i))=\varphi(e_i)\,(1\leq i\leq r)$ 易證 $\psi(e_1),\cdots,\psi(e_r)$ 是 $\mathrm{Im}\psi$ 中一組線性無關的向量. 充分性: 若 $r(\psi)=r(\varphi)=r$, 則 $\{\psi(e_1),\cdots,\psi(e_r)\}$ 是 $\mathrm{Im}\psi$ 的一組基. 對 $\mathrm{Im}\psi$ 中任一貫量 $c_1\psi(e_1)+\cdots+c_r\psi(e_r)$, 若它屬於 $\mathrm{Ker}\varphi$, 則有 $$0=\varphi(c_1\psi(e_1)+\cdots+c_r\psi(e_r))=c_1\varphi(e_1)+\cdots+c_r\varphi(e_r),$$ 從而 $c_1=\cdots=c_r=0$, 即有 $\mathrm{Ker}\varphi\cap\mathrm{Im}\psi=0$. 必要性: 若 $\mathrm{Ker}\varphi\cap\mathrm{Im}\psi=0$, 則對 $r+1\leq j\leq n$ 有, $\varphi(\psi(e_j))=\varphi(e_j)=0$, 從而 $\psi(e_j)\in\mathrm{Ker}\varphi\cap\mathrm{Im}\psi=0$, 即 $\psi(e_j)=0\,(r+1\leq j\leq n)$. 因而 $\mathrm{Im}\psi$ 中任一貫量都是 $\psi(e_1),\cdots,\psi(e_r)$ 的線性組合, 即 $\{\psi(e_1),\cdots,\psi(e_r)\}$ 是 $\mathrm{Im}\psi$ 的一組基. 特別地, $r(\psi)=r(\phi)=r$.

幾何證法6 (映射覆合的核空間)  注意到 $\mathrm{Ker}\varphi\psi=\psi^{-1}(\mathrm{Ker}\varphi\cap\mathrm{Im}\psi)$ (這裏 $\psi^{-1}$ 表示原像全體), 將 $\psi$ 限制在 $\mathrm{Ker}\varphi\psi$ 上, 可得滿線性映射 $\psi_1:\mathrm{Ker}\varphi\psi\to\mathrm{Ker}\varphi\cap\mathrm{Im}\psi$. 注意到 $\mathrm{Ker}\psi_1=\mathrm{Ker}\psi$, 由線性映射的維數公式可得 $$\dim\mathrm{Ker}\varphi=\dim\mathrm{Ker}\varphi\psi=\dim\mathrm{Ker}\psi+\dim(\mathrm{Ker}\varphi\cap\mathrm{Im}\psi),$$ 因而 $\dim(\mathrm{Ker}\varphi\cap\mathrm{Im}\psi)=r(\psi)-r(\varphi)$, 由此即得充要條件.

注  (1)  18級同窗在證實的過程當中, 有的同窗是充分性和必要性分別採起不一樣的證法; 也有同窗證出知足充要條件的 $\psi$ 必定是冪等變換 ($\mathrm{Im}(I_V-\psi)\subseteq\mathrm{Ker}\varphi=\mathrm{Ker}\psi$, 從而 $\psi^2=\psi$); 17級陳柯嶼同窗把問題轉化爲代數問題, 再把 $A$ 化簡爲相抵標準型給出了一個不一樣於上面的證實 (但並不簡潔, 因此就不登載了). 上面這六種證法聯繫起了線性空間理論和線性變換理論的衆多知識點, 強烈推薦你們仔細閱讀, 認真體會.

(2)  本題作對 (得分 9 分以上) 的同窗共有 51 人, 名單以下:

幾何證法1: 章黎景華, 金維涵, 張天賜, 李沛揚, 劉羽;

幾何證法2: 吳洲同, 郭都, 範辰健, 孫曉雯, 唐逸揚, 劉林洋, 李松林, 封清, 陳宇傑, 謝永樂, 黃澤鬆, 周星雨, 劉一川, 張哲維, 唐朝亮;

幾何證法3 & 代數證法1 & 幾何證法4: 羅通, 吳潤華, 王晟灝, 高博文, 顧天翊, 時天宇, 王捷翔, 祝苒雯, 楊佳奇, 李雨昊, 陳欽品, 趙界清, 華樹傑, 葉雨陽, 江孝奕, 劉天航, 張俊傑, 周子翔, 黃詩涵, 林萬山, 張思哲, 吳彥橋, 黃永晟, 宋展鵬, 肖然;

幾何證法5: 李瑋, 張軒銘, 丁思成, 周爍星;

幾何證法6: 廖莊子龍;

代數證法2: 陳柯嶼.