旋轉的數學表達：歐拉角、軸向角、四元數與矩陣

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　　數學，是人類對客觀世界中數量關係和空間形式本質特徵進行研究的科學。對一樣的某一特徵或者關係，能夠根據需求用不一樣的數學符號、定義和過程來表達。在遊戲引擎中，咱們也有不少這樣的例子，好比本文說到的旋轉。

歐拉角

　　旋轉是一個過程，一個物體圍繞周或者點角度變化的過程。爲了描述這個過程咱們必須有參照物，因而咱們先定義一個世界座標系，笛卡爾座標系。

　　　　　　

　　歐拉角用（x, y, z) 分別來表示這個物體相對三個座標系的夾角，這是由數學家歐拉首先提出而得名的。　

　   　　　　　　

　　然而僅僅有（x, y, z) 來表示旋轉是不夠的，還有兩個因素：

　　首先是旋轉順序，從各個軸上進行角度旋轉時xyz前後的不一樣會獲得不一樣的結果。咱們稱這個順序定義爲順規，下面一段是維基百科的定義：
　　在經典力學裏，時經常使用zxz順規來設定歐拉角；照着第二個轉動軸的軸名，簡稱爲x順規。另外，還有別的歐拉角組。合法的歐拉角組中，惟一的限制是，任何兩個連續的旋轉，必須繞着不一樣的轉動軸旋轉。所以，一共有12種順規。例如，y順規，第二個轉動軸是y-軸，時經常使用在量子力學、核子物理學、粒子物理學。另外，還有一種順規，xyz順規，是用在航空航天工程學；
　　按(z-x-z, x-y-x, y-z-y, z-y-z, x-z-x, y-x-y)軸序列旋轉，即第一個旋轉軸和最後一個旋轉軸相同，咱們稱之爲經典歐拉角（Proper Euler Angle）。
　　按(x-y-z, y-z-x, z-x-y, x-z-y, z-y-x, y-x-z)軸序列旋轉，即三個不一樣的軸，咱們稱之爲泰特布萊恩角（Tait–Bryan angles）。

　　其次是旋轉的參照座標系，歐拉角按旋轉的座標系分爲：
　　內旋（intrinsic rotation）即按照物體自己的座標系進行旋轉，座標系會跟隨旋轉與世界座標系產生偏移。
　　外旋（extrinsic rotation）即根據世界座標系進行旋轉。
　　這是咱們看看Unity3d中Transform的Rotate，最後一個參數即座標系：　　

public void Rotate(Vector3 eulerAngles, Space relativeTo = Space.Self);

 　　注意：Unity3d使用的是zxy的順規，且進行一次歐拉旋轉的zxy依次執行過程當中，相對軸始終是運算開始以前的軸向。

 萬向節死鎖（Gimbal Lock）

　　注意咱們前面提到的旋轉的規則 [ 進行一次歐拉旋轉的zxy依次執行過程當中，相對軸始終是運算開始以前的軸向 ]

　　在這個規則下，zxy順規時，若是x的旋轉爲90度，那麼任意的（z,90,y）都與（z-y,90,0）獲得的結果都是相同的，此時咱們稱z軸失去了自由度，並稱這種狀況爲萬向節死鎖。之因此叫Gimbal Lock，是由於這種狀況正好和Gimbal，即陀螺儀的狀況是完美匹配的，死鎖狀況也相同。具體狀況這篇文章寫的很好，你們能夠看一下：https://blog.csdn.net/andrewfan/article/details/60981437

       　　　　  

　　這種狀況下，物體的某一個旋轉，會有多個歐拉角數值與其多對一的對應，那麼對歐拉角進行插值是沒有意義的。若是隻旋轉一個軸，其餘軸不動，那麼直接設置歐拉角的數值卻是沒有什麼問題。

　　同時咱們也不可貴出死鎖的緣由並非由順規決定的，而是因爲歐拉角的原理和計算方式，一個軸的旋轉必然帶來另外軸的旋轉所致使的。

 軸向角

　　這時候，又有了一個思路，咱們可使用基於一個單位矢量來表示方向，再用一個標量來定義繞這個矢量來旋轉多少角度theta。

　　即[x,y,z,theta]，前面的xyz表示這個矢量，最後一個表示角度。這個表示方法很簡潔明瞭，容易理解。

　　　　　　

　　缺點有兩個：

　　1.不一樣的軸角之間不能進行簡單的插值。

　　2.很差基於一個矢量加上一個軸角形式的旋轉來進行運算。

　　爲了解決這些缺點，先人們又發明了使用四元數和矩陣來表達旋轉。

四元數

　　這裏先說一下基本原理：

　　參考連接：https://www.3dgep.com/understanding-quaternions/

　　譯文：https://blog.csdn.net/lhs322/article/details/80066960

　　四元數的概念是由愛爾蘭數學家漢密爾頓發明的，他當時正和老婆一塊兒前往愛爾蘭皇家研究院，一邊走一邊想，路過一座橋時，他頓悟了公式，並馬上把它刻在橋上的石頭上：

　　　　 

 　　那麼，爲何四元數能表示三維空間的旋轉呢？首先學太高數咱們都知道複數的定義以及幾何意義，複數能夠映射到複數平面上，而且對這複數乘以i，獲得的複數就至關於複數空間裏旋轉了90度。

　　 例以下圖，p = 2 + i，乘以i後： q = pi = (2+i)*i = 2i + i*i = 2i - 1 = -1 + 2i。能夠看出q逆時針旋轉了90度。同理乘以-i即爲正時針旋轉90度。

  　　　　

　　此時將複數的虛部擴展爲三個，並根據漢密爾頓的著名錶達式以及推論

　　　

　　

　　四元數的定義能夠用來表達笛卡爾座標系的旋轉，其中i,j,k分別表明笛卡爾座標系裏xyz三個軸的單位向量。這些表達式裏 ij = k 是否是很眼熟？兩個互相垂直的單位向量的叉乘等於垂直於兩個向量的單位向量。

　　　

 　　通過一系列的推導和運算（略），你們感興趣能夠看上面的連接，假設一個旋轉的基準向量是（A,B,C)，角度是 θ （theta），那麼表達這個旋轉過程的四元數以下：　　

　　

　　注意ABC本質上就是基準向量在3個笛卡爾軸上的份量，用來準確描述向量，上面的公式也就是

四元數 q = [cos(θ/2), sin(θ/2)* v‘]; 
即：
w = cos(θ/2)    
x  = A * sin(θ/2)    
y  = B * sin(θ/2)    
z  = C * sin(θ/2)  

　　假設有一個向量v要進行旋轉，這個旋轉描述爲q，那麼結果是 v' = qvq-1， 若是要進行屢次旋轉，則表示爲：

　　

　　四元數的乘法是：

q1 * q2 =
(w1*w2 - x1*x2 - y1*y2 - z1*z2) + (w1*x2 + x1*w2 + y1*z2 - z1*y2) i + (w1*y2 - x1*z2 + y1*w2 + z1*x2) j + (w1*z2 + x1*y2 - y1*x2 + z1*w2) k

　　能夠看到，經過一系列的數學推導和定義，能夠只用4個浮點數就來表達一個旋轉過程，而且能夠方便簡單的快速計算旋轉的疊加。這對於遊戲引擎來講是很是有意義的，能夠加快運算速度。

　　四元數還有不少具體的特性，計算規則等，感興趣的能夠去研究，本文主要討論旋轉，這裏再也不贅訴。　　

　　【球形插值】

　　四元數還能夠實現球形插值，制定兩個旋轉qa到qb，時間間隔爲t，那麼此刻的旋轉插值爲：

　　

　　其中θ爲兩個旋轉之間的夾角：

　　

　　球面插值能夠在遊戲裏實現很平滑的轉向和球面運動。

四元數與歐拉角之間的轉換

　　已知歐拉角，求四元數：

　　

　　已知四元素，求歐拉角

　　

用矩陣來計算旋轉

 　　學過矩陣乘法咱們都知道，若是把向量當作一個列矩陣，那麼與向量維度相同的列數的矩陣乘以它，獲得的結果也是一個列矩陣，即：

　　

　　因此能夠充分利用左邊矩陣的內容，對右邊的向量進行各類變換（包括平移，縮放，旋轉等等），這裏咱們只討論旋轉。

　　具體推導過程參考這裏:https://www.cnblogs.com/xpvincent/archive/2013/02/15/2912836.html

　　假設一個向量V（Vx,Vy, Vz) 繞另一個軸角（nx, ny, nz, θ）進行旋轉，那麼旋轉結果V'是：

　　

　　這個公式咱們稱之爲羅德里格旋轉公式(Rodrigues' rotation formula)，用矩陣計算旋轉在遊戲圖形渲染裏很是廣泛，不過引擎裏通常爲了兼容更多的向量變換，都使用了其次矩陣，即多一個維度的矩陣，本文不表。

 小結

　　總結完這幾種在常見的表達旋轉的數學方式，能夠看到遊戲引擎裏也都使用到這些表達方法，感受收益匪淺，後面準備討論一下齊次矩陣和矩陣變換的原理。