公路工程三維座標系研究

時間 2019-12-09

標籤公路工程三維座標系研究简体版

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做者: 姚彧
版本歷史：設計

版本	日期	說明
0.1	2018-08-07	建立文檔
0.2	2018-08-09	加入公路基礎
0.2.1	2018-08-10	自由基底符合左手法則

目標

[x] 創建公路工程三維座標系

1. 引言

在公路三維建模中, 爲了清晰、簡潔的表達公路三維模型，咱們須要各類三維座標系。本文嘗試經過應用空間向量基的原理，對公路三維建模所需的座標系進行拋磚引玉。文檔

1.1. 數學基礎

1.1.1 向量(Vector)

向量指具備大小和方向的量。get

1.1.2 基(Basic,基底)

1.1.2.1 線性無關

在一個向量空間$V_n$中，假設：博客

$a_1e_1 + ⋯ + a_ne_n = 0$　　(式1)數學

只在 $a_1 = ⋯ = a_n = 0$ 時成立，那麼向量 $\{e_1, e_2, ..., e_n\}$ 是線性無關的。
若是任何 $a_i$ 不爲零，那麼這些向量是線性相關的，其中一個向量是其餘向量的組合。it

1.1.2.2 基底

在向量空間$V_n$中，任意向量$P$均可以由一組$n$個線性無關的向量集$B_n$組成，這樣的向量集$B_n$稱爲基底(基)。其定義以下：
向量空間 $V_n$ 的基底 $B_n$ 是一組 $n$ 個線性無關的向量 $\{e_1, e_2, ..., e_n\}$，
對於任何 $V_n$ 的向量 $P$，都存在實數 $\{a_1, a_2, ..., a_n\}$，使得table

$P = a_1e_1 + ⋯ + a_ne_n $　　(式２)class

1.2. 公路工程基礎

1.2.1 公路的組成

公路的主要組成部分：路基、路面、橋樑、涵洞、隧道、綠化、排水、防禦及其它設施等。

1.2.2 路線

公路路線是指公路平面線形、縱斷面線形、橫斷面及其三者相結合的三維空間線形的總稱。

1.2.3 結構物

公路結構物主要是橋樑、涵洞、立交、跨線橋、支擋結構物等。結構物通常都是沿路線進行佈置。

2. 公路工程三維座標系

基於向量空間基的定義, 在三維空間中, 可使用任意基底來表達模型物體。根據公路三維特色，本文定義了以下公路三維基底：

2.1 路線基底 $B_r$

對於路線，直接使用笛卡爾基底(即單位矩陣$M_r = I_3 = (V_r, V_f, V_u)$來表示座標:

$P_r=(X, Y, Z) \cdot M_r$。

在將路線三維座標映射到樁號基底時，須要用到 $M_r$ 的逆矩陣 $M_r$。

2.1.1 基向量之間的關係

基向量之間的關係符合右手法則

$V_r = V_f \times V_u$
$V_u = V_r \times V_f$
$V_f = V_u \times V_r$

2.2 樁號基底 $B_s$

首先，對於路線局部區域，能夠創建以路線設計線指定樁號中心爲基準的樁號基底。

2.2.1 樁號基底的選擇

在任意中心樁號, 選擇以下正交向量組$\{B_3\}$做爲基底:

向前(基向量,$V_f$), 路線水平前進方向
向右(基向量,$V_r$), 路線水平前進方向右轉$90^o$
向上(基向量,$V_u$), 豎直方向

2.2.2 樁號基底的存儲

爲了將橫斷面轉換到三維, 使用($V_r, V_u$)份量保存橫斷面座標, 這樣橫斷面從二維轉到三維只須要第三份量設爲0, 即(x, y, 0).
將前進方向保存在第三份量上, 這樣就組成了樁號基底($V_r, V_u, V_f$), 咱們用單位矩陣$M_s=I_3$表示.

由於份量定義順序的緣由, 樁號基底知足下列關係:

$V_f = V_r \times V_u$
$V_r = V_u \times V_f$
$V_u = V_f \times V_r$

2.2.3 樁號基底的特色

將存儲結果與實際狀況對比, 形成了樁號基底符合 左手法則, (右, 上, 前), 在應用時, 須要注意。
真實的笛卡爾向量, 須要經過笛卡爾基底還原

$P_r \cdot M_r = P_s \cdot M_0 \cdot \begin{bmatrix} 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\\ 1 & 0 & 0 \end{bmatrix} \cdot M_l = P_s \cdot \begin{bmatrix} 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\\ 1 & 0 & 0 \end{bmatrix} \cdot M_l = P_s \cdot M_s$
注： $M_0 = I_3$

2.3 自由基底 $B_{f}$

2.3.1 自由基底的選擇

選擇以下自由向量組$\{B_3\}$做爲基底:

向前(基向量,$V_f$), 路線前進方向
向右(基向量,$V_r$), 路線前進方向右轉指定角度
向上(基向量,$V_u$), 豎直方向

2.3.2 自由基底的矩陣表達

自由基底採用與樁號基底一樣的份量($V_r, V_u, V_f$)。

2.3.3 自由基底的特色

自由基底適合於對模型應用錯切變換。

2.3.4 應用方式

$P_r = P_f \cdot M_f \cdot M_s$

即對物體模型先應用自由基底，而後再應用路線基底。

3. 公路三維座標系應用

3.1 計算樁號在路線中的位置矩陣

路線前進方向在笛卡爾座標系中進行計算
$V_f = P_e - P_s$
其中：$P_e,P_s$中z份量=0
$V_u = [0,0,1]$
$V_r = V_f \times V_u$
$M_s = [V_r, V_u, V_f] \Leftrightarrow\begin{bmatrix}
0 & -1 & 0 \
0 & 0 & 1\
1 & 0 & 0
\end{bmatrix} \cdot M_l $
基點: $ P_s $

齊次位置矩陣爲：