【譯】Swift算法俱樂部-最大公約數算法

本文是對 Swift Algorithm Club 翻譯的一篇文章。
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🐙andyRon/swift-algorithm-club-cn是我對Swift Algorithm Club，邊學習邊翻譯的項目。因爲能力有限，如發現錯誤或翻譯不妥，請指正，歡迎pull request。也歡迎有興趣、有時間的小夥伴一塊兒參與翻譯和學習🤓。固然也歡迎加⭐️，🤩🤩🤩🤨🤪。
本文的翻譯原文和代碼能夠查看🐙swift-algorithm-club-cn/Greatest Common Divisor

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最大公約數算法（Greatest Common Divisor）

兩個數字a和b的 最大公約數（或最大公因數）是將a和b整除都沒有餘數的最大正整數。

例如，gcd(39, 52) = 13，由於13除以39(39/13 = 3)以及52(52/13 = 4)，並且沒有比13更大的數字。

在某些時候你可能不得不在學校裏瞭解這一點。:-)

找到兩個數字的GCD的費力方法是先找出兩個數字的因子，而後取其共同的最大數。 問題在於分解數字是很是困難的，特別是當它們變大時。 （從好的方面來講，這種困難也是保證您的在線支付安全的緣由。）

有一種更聰明的方法來計算GCD：歐幾里德的算法。 這個算法主要觀點是，

gcd(a, b) = gcd(b, a % b)
複製代碼

其中a％b是a除以b的餘數。

如下是Swift中這個想法的實現：

func gcd(_ a: Int, _ b: Int) -> Int {
  let r = a % b
  if r != 0 {
    return gcd(b, r)
  } else {
    return b
  }
}
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在 playground 上，試試一些例子：

gcd(52, 39)        // 13
gcd(228, 36)       // 12
gcd(51357, 3819)   // 57
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讓咱們分步完成第三個例子：

gcd(51357, 3819)
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根據歐幾里德的規則，這至關於，

gcd(3819, 51357 % 3819) = gcd(3819, 1710)
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由於51357 ％ 3819的餘數是1710。 詳細計算爲51357 = (13 * 3819) + 1710，但咱們只關心餘數部分。

因此gcd(51357, 3819)與gcd(3819, 1710)相同。 這頗有用，由於咱們能夠繼續簡化：

gcd(3819, 1710) = gcd(1710, 3819 % 1710) = 
gcd(1710, 399)  = gcd(399, 1710 % 399)   = 
gcd(399, 114)   = gcd(114, 399 % 114)    = 
gcd(114, 57)    = gcd(57, 114 % 57)      = 
gcd(57, 0)
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如今不能再進一步劃分了。 114 / 57的餘數爲零，由於114 = 57 * 2。 這意味着咱們找到了答案：

gcd(3819, 51357) = gcd(57, 0) = 57
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所以，在歐幾里德算法的每一個步驟中，數字變得更小，而且在某個點上，當它們中的一個變爲零時它結束。

順便說一下，兩個數字的GCD也可能爲1.它們被認爲是 互素（譯註：也叫互質）。 當沒有數字將它們整除時會發生這種狀況，例如：

gcd(841, 299)     // 1
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下面是歐幾里德算法略微不一樣的一種實現。 與第一個版本不一樣，它不使用遞歸，而只使用基本的while循環。

func gcd(_ m: Int, _ n: Int) -> Int {
  var a = 0
  var b = max(m, n)
  var r = min(m, n)

  while r != 0 {
    a = b
    b = r
    r = a % b
  }
  return b
}
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函數頂部的 max() 和 min() 確保咱們老是用較大的數字除以較小的數字。

最小公倍數

與GCD相關的想法是 最小公倍數 或叫作LCM。

兩個數字a和b的最小公倍數是二者的倍數中最小的正整數。 換句話說，LCM能夠被a和b整除。

例如：lcm(2, 3) = 6，由於6能夠被2整除，也能夠被3整除。

咱們也可使用歐幾里德算法計算LCM：

a * b
lcm(a, b) = ---------
            gcd(a, b)
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代碼：

func lcm(_ m: Int, _ n: Int) -> Int {
  return m / gcd(m, n) * n
}
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在playground中測試：

lcm(10, 8)    // 40
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您可能不須要在任何實際問題中使用GCD或LCM，可是使用這種古老的算法很酷。 它首先由歐幾里德在公元前300年左右他的書籍元素中描述。 有傳言說他在攻擊他的Commodore 64時，發現了這個算法。

做者：Matthijs Hollemans
翻譯：Andy Ron
校對：Andy Ron