2008 年研究生入學考試數學一選擇題第 1 題解析

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題目

設函數 $f(x)=\int_{0}^{x^{2}}\ln(2+t)dt$, 則 $f'(x)$ 的零點個數（）

( A ) $0.$

( B ) $1.$

( C ) $2.$

( D ) $3.$

解析

本題能夠使用積分和導數的相關定理解出。

涉及到的積分知識以下：

(1) 定積分基本性質

$\int_{a}^{b}f(x)dx=\int_{a}^{b}f(t)dt;$

(2) 變上限積分函數求導

• 若 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上連續，則 $F(x)=\int_{a}^{x}f(t)dt$ 在 $[a,b]$ 上可導，且 $F'(x)=f(x)$.
• 若 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上連續，$\phi(x)$ 在 $[a,b]$ 上可導，設$F(x)=\int_{a}^{\phi(x)}f(t)dt$, 則：

  $F'(x)=f[\phi(x)]\cdot\phi'(x)$.

涉及到的求導知識以下：

$(x^{a})'=ax^{a-1};$

此外，咱們須要知道的是，「函數零點」指的是 $f(x)=0$ 時，對應的自變量 $x$ 的數值，「函數零點」 不是一個點，而是一個數值。

解題思路以下：

根據變上限積分函數求導法則，有：

$f'(x)=\ln(2+x^{2})\cdot(x^{2})'=2x\ln(2+x^{2}).$

則要求函數 $f'(x)$ 的零點的個數，就是求 $2x\ln(2+x^{2})=0$ 的解的個數。

要使 $2x\ln(2+x^{2})=0$ 成立，則有如下三種狀況（分狀況討論時要注意「不重不漏」）：

(1) $2x=0 且 \ln(2+x^{2})\neq0$

此時解出 $x=0$.

(2) $2x\neq0 且 \ln(2+x^{2})=0$

無解。

因爲 $1+x^{2}\geq2$ 始終成立，並且當 $x=1$ 時，$\ln(x)=0$, 當 $x>1$ 時，$\ln(x)>0$.

因此，$\ln(2+x^{2})>0$ 始終成立，與 $x$ 軸沒有交點。

(3) $2x=0 且 \ln(2+x^{2})=0$

$2x=\ln(2+x^{2})=0 \Rightarrow 無解$.

綜上可知，當 $2x\ln(2+x^{2})=0$ 時，有：

$x=0$.

所以，只有一個零點，答案是：B

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