2008 年研究生入學考試數學一選擇題第 1 題解析

題目

設函數 \(f(x)=\int_{0}^{x^{2}}\ln(2+t)dt\), 則 \(f'(x)\) 的零點個數（）

( A ) \(0.\)

( B ) \(1.\)

( C ) \(2.\)

( D ) \(3.\)

解析

本題能夠使用積分和導數的相關定理解出。

涉及到的積分知識以下：

(1) 定積分基本性質

\(\int_{a}^{b}f(x)dx=\int_{a}^{b}f(t)dt;\)

(2) 變上限積分函數求導

• 若 \(f(x)\) 在 \([a,b]\) 上連續，則 \(F(x)=\int_{a}^{x}f(t)dt\) 在 \([a,b]\) 上可導，且 \(F'(x)=f(x)\).

• 若 \(f(x)\) 在 \([a,b]\) 上連續，\(\phi(x)\) 在 \([a,b]\) 上可導，設\(F(x)=\int_{a}^{\phi(x)}f(t)dt\), 則：

  \(F'(x)=f[\phi(x)]\cdot\phi'(x)\).

涉及到的求導知識以下：

\((x^{a})'=ax^{a-1};\)

此外，咱們須要知道的是，「函數零點」指的是 \(f(x)=0\) 時，對應的自變量 \(x\) 的數值，「函數零點」 不是一個點，而是一個數值。

解題思路以下：

根據變上限積分函數求導法則，有：

\(f'(x)=\ln(2+x^{2})\cdot(x^{2})'=2x\ln(2+x^{2}).\)

則要求函數 \(f'(x)\) 的零點的個數，就是求 \(2x\ln(2+x^{2})=0\) 的解的個數。

要使 \(2x\ln(2+x^{2})=0\) 成立，則有如下三種狀況（分狀況討論時要注意「不重不漏」）：

(1) \(2x=0 且 \ln(2+x^{2})\neq0\)

此時解出 \(x=0\).

(2) \(2x\neq0 且 \ln(2+x^{2})=0\)

無解。

因爲 \(1+x^{2}\geq2\) 始終成立，並且當 \(x=1\) 時，\(\ln(x)=0\), 當 \(x>1\) 時，\(\ln(x)>0\).

因此，\(\ln(2+x^{2})>0\) 始終成立，與 \(x\) 軸沒有交點。

(3) \(2x=0 且 \ln(2+x^{2})=0\)

\(2x=\ln(2+x^{2})=0 \Rightarrow 無解\).

綜上可知，當 \(2x\ln(2+x^{2})=0\) 時，有：

\(x=0\).

所以，只有一個零點，答案是：B

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