2017 年研究生入學考試數學一選擇題第 4 題解析（兩種方法）

題目

甲乙兩人賽跑，計時開始時，甲在乙前方 10（單位：m）處. 圖中，實線表示甲的速度曲線 \(v=v_{1}(t)\) （單位 : m/s），虛線表示乙的速度曲線 \(v=v_{2}(t)\) （單位 : m/s），三塊陰影部分面積的數值依次爲 10, 20, 3. 計時開始後乙追上甲的時刻記爲 \(t_{0}\) （單位 : s），則（）

( A ) \(t_{0}=10.\)

( B ) \(15<t_{0}<20.\)

( C ) \(t_{0}=25.\)

( D ) \(t_{0}>25.\)

解析

方法一

從物理學的角度，本題就是考查速度與路程的關係。

題目中給出的 X-Y 座標圖像是「時間-速度」圖像。那麼，根據物理學知識咱們知道，該曲線與座標軸圍成的圖像的面積就是走過的路程。咱們又知道，實線表示甲，虛線表示乙，並且剛開始時甲在乙前面 10 米處。

由圖像可知，當 \(t=10\) 時，甲在乙前面 20 米處，當 \(t=25\) 時，乙在第 10 秒到第 25 秒之間的 15 秒時間裏比甲多跑了 20 米，正好抵消了以前乙落後於甲的 20 米路程。所以，當 \(t=25\) 時，乙追上了甲，即 \(t_{0}=25\)。

綜上可知，本題的正確選項是：C

方法二

從數學的角度，本題主要考查的是定積分的基本運算和定積分的幾何意義。

使用高等數學解答本題須要以下關於定積分的知識：

1. 定積分的幾何意義：

   曲邊梯形的代數和.

2. 定積分的基本性質：

   定積分的線性性：

   \(\int_{a}^{b}[k_{1}f_{1}(x)+k_{2}f_{2}(x)]dx=k_{1}\int_{a}^{b}f_{1}(x)dx+k_{2}\int_{a}^{b}f_{2}(x)dx.\)

   定積分積分區間的可加性：

   \(\int_{a}^{b}f(x)dx=\int_{a}^{c}f(x)dx+\int_{c}^{b}f(x)dx.\)

根據上面的知識，咱們能夠作以下推理。

若是咱們約定，使用 \(v(t)\) 表示速度，使用 \(s(t)\) 表示路程，那麼在從 \(0\) 到 \(t\) 這個時間段內，能夠寫出以下定積分表達式：

\(s(t)=\int_{0}^{t}v(t)dx.\)

所以，當乙在 \(t_{0}\) 時刻追上甲時，甲走過的路程爲：

\(s_{1}(t)=\int_{0}^{t_{0}}v_{1}(t).\)

乙走過的路程爲：

\(s_{2}(t)=\int_{0}^{t_{0}}v_{2}(t).\)

\(s_{2}(t)\) 和 \(s_{1}(t)\) 的關係爲：

\(s_{2}(t)-10=s_{1}(t).\)

因而有：

\(s_{2}(t)-s_{1}(t)=\int_{0}^{t_{0}}v_{2}(t)-\int_{0}^{t_{0}}v_{1}(t)=\int_{0}^{t_{0}}[v_{2}(t)-v_{1}(t)]=10.\)

因爲在從 \(0\) 到 \(10\) 秒的時間段內，\(v_{2}\) 始終大於 \(v_{1}\), 所以，乙超過甲的時間 \(t_{0}\) 必定大於 \(10\), 因而有：

\(\int_{0}^{10}[v_{2}(t)-v_{1}(t)]+\int_{10}^{t_{0}}[v_{2}(t)-v_{1}(t)]=10.\)

又因爲，從題中給出的圖像咱們能夠看出：

\(\int_{0}^{10}[v_{2}(t)-v_{1}(t)]=10.\)

所以有：

\(\int_{10}^{t_{0}}[v_{2}(t)-v_{1}(t)]=20. (1)\)

根據題中圖像可知，在第 \(10\) 秒到第 \(25\) 秒這段時間裏，圖像中對應的陰影部分的面積爲 20, 因此當 \(t_{0}=25\) 時，\((1)\) 式成立。

綜上可知，本題的正確選項是：C

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