2017 年研究生入學考試數學一填空題第 1 題解析（兩種方法）

題目

已知函數 \(f(x)=\frac{1}{1+x^{2}}\), 則 \(f^{(3)}(0)=\)

解析

方法一

本題能夠藉助函數奇偶性的相關性質解出。

因爲：

\(f(x)=\frac{1}{1+x^{2}}\)

\(f(-x)=\frac{1}{1+(-x)^{2}}=\frac{1}{1+x^{2}}\)

所以：

\(f(x)=f(-x)\)

因而，咱們知道，函數 \(f(x)\) 是一個偶函數。

接下來，根據「偶函數的導數是奇函數，奇函數的導數是偶函數」的規律，咱們知道，函數 \(f^{(3)}(x)\) 是一個奇函數。

又因爲，若是一個奇函數 \(g(x)\) 在原點處(\(x=0\))有定義，則 \(g(x)=0\), 所以有：

\(f^{(3)}(0)=0\)

綜上可知，本題的答案就是：\(0\)

方法二

本題也能夠藉助泰勒級數計算。

本題要求解的是在 \(x=0\) 時，\(f(x)\) 的三次導函數的函數值。咱們知道，麥克勞林級數就是函數在 \(x=0\) 處的泰勒級數，是泰勒級數的一個特例。因而，這裏咱們能夠使用麥克勞林級數對原式進行級數展開。

麥克勞林級數中有一個關於幾何級數的公式，以下：

\(\frac{1}{1-x}=\sum_{0}^{\infty}x^{n}, |x|<1\)

當咱們把上述公式中的 \(x\) 替換成 \(-x^{2}\) 後，\(f(x)\) 就能夠使用上述幾何級數的公式表達，以下：

\(f(x) = \frac{1}{1+x^{2}}=\frac{1}{1-(-x^{2})}=\sum_{0}^{\infty}(-x^{2})^{n}=\sum_{0}^{\infty}(-1)^{n}x^{2n}\)

以後，對 \(f(x)\) 求導：

\(f'(x)=\sum_{0}^{\infty}(-1)^{n} \cdot 2n \cdot x^{2n-1}\)

\(f''(x)=\sum_{0}^{\infty}(-1)^{n} \cdot 2n \cdot 2n-1 \cdot x^{2n-2}\)

\(f'''(x)=\sum_{0}^{\infty}(-1)^{n} \cdot 2n \cdot 2n-1 \cdot 2n-2 \cdot x^{2n-3}\)

因而，\(f'''(0)=0\)

綜上可知，本題的答案就是：\(0\)

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