2017 年研究生入學考試數學一選擇題第 1 題解析

題目

若函數 \(f(x)=\left\{\begin{matrix} \frac{1-\cos\sqrt{x}}{ax}, x > 0 \\ b, x\leqslant 0 \end{matrix}\right.\)，在 \(x=0\) 處連續，則（）

( A ) \(ab = \frac{1}{2}\)

( B ) \(ab = - \frac{1}{2}\)

( C ) \(ab = 0\)

( D ) \(ab = 2\)

解析

這道題能夠根據函數連續的定義解出。

函數 \(f(x)\) 在某一點 \(x_{0}\) 處連續的定義以下：

\(\lim_{x \rightarrow x_{0^{-}}} = \lim_{x \rightarrow x_{0^{+}}} = f(x_{0})\)

所以，若函數 \(f(x)\) 在 \(x = 0\) 處連續，則根據定義的話，咱們須要證實：

\(\lim_{x \rightarrow 0^{-}} = \lim_{x \rightarrow 0^{+}} = f(0)\)

觀察題目可知，這是一個分段函數，且當 \(x \in (- \infty, 0]\) 時，\(f(x)=b\). 因而，當 \(x\) 從左邊趨近於 \(0\) 時，\(f(0^{-}) = b\).

當 \(x\) 從右邊趨近於 \(0\) 時，適用的取值範圍爲 \(x>0\), 而對應的函數值爲：

\(\lim_{x \rightarrow 0^{+}}f(x) = \lim_{x \rightarrow 0^{+}}\frac{1-\cos\sqrt{x}}{ax}\)

根據以下的等價無窮小原則：

\(1- \cos x \sim \frac{1}{2}x^{2}\)

因而有：

原式 \(=\lim_{x \rightarrow 0^{+}} \frac{\frac{1}{2}(\sqrt{x})^{2}}{ax} = \frac{1}{2a}\)

爲了知足上面提到的函數在一點處連續的定義，須要有：

\(\frac{1}{2a} = b\)

化簡形式得：

\(ab = \frac{1}{2}\)

由此可知，選 A.

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