2008 年研究生入學考試數學一解答題第 1 題解析（兩種方法+手寫做答）

題目

求極限 \(\lim_{x \rightarrow 0}\frac{[\sin x-\sin (\sin x)] \sin x}{x^{4}}\)

解析

當題目中要求的是「極限」，並且出現了 \(x \rightarrow 0\) 時就要考慮是否是要用到或者能夠用到等價無窮小。

還須要考慮的可能用到的知識是洛必達法則。當 \(x \rightarrow 0\) 時可能產生 \(\frac{0}{0}\) 型的洛必達或者 \(\frac{\infty}{\infty}\) 型的洛必達。並且，洛必達法則就是爲求極限而生的，能夠把對函數的求極限轉換成對函數的導數求極限，從而可能化簡原式。

方法一

本題考查的是等價無窮小，須要用到的兩個等價無窮小以下（當 \(x \rightarrow 0\) 時）：

\(x \sim \sin x;\)

\(x-\sin x \sim \frac{1}{6}x^{3}.\)

因而有：

\(原式=\lim_{x \rightarrow 0} \frac{[\sin x-\sin (\sin x)]\sin x}{\sin^{4}x}=\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\sin x-\sin(\sin x)}{\sin^{3} x}\)

令 \(\sin x=t\), 則有：

原式 \(=\lim_{x \rightarrow 0}\frac{t-\sin(t)}{t^{3}}\)

因爲，當 \(x \rightarrow 0\) 時，\(\sin x \rightarrow 0\), 因而有 \(t \rightarrow 0\), 所以根據常見的等價無窮小，有：

\(t-\sin t \sim \frac{1}{6}t^{3}\)

所以有：

\(原式=\lim_{x \rightarrow 0}\frac{\frac{1}{6}t^{3}}{t^{3}}=\frac{1}{6}\)

方法二

本題也能夠結合使用等價無窮小與 \(\frac{0}{0}\) 型洛必達等定理解出。

須要用到的等價無窮小有（當 \(x \rightarrow 0\) 時）：

\(x \sim \sin x\)

\(1-\cos x \sim \frac{1}{2}x^{2}\)

須要用到的洛必達法則公式是：

\(\lim_{x \rightarrow x_{0}}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x \rightarrow 0}\frac{f'(x)}{g'(x)}\)

須要用到的求導規則是：

\((\sin x)'=\cos x\)

\((u-v)'=u'-v'\)

\(f'(x)=f'[g(x)]g'(x)\)

解答思路以下：

因爲，當 \(x \rightarrow 0\) 時，\(\sin x \sim x\), 因而有：

\(原式=\lim_{x \rightarrow 0}\frac{[\sin x-\sin(\sin x)]\sin x}{x^{3}\sin x}=\lim_{x \rightarrow0}\frac{\sin x-\sin(\sin x)}{x^{3}} (1)\)

因爲，當 \(x \rightarrow 0\) 時，有：

\(\sin x-\sin(\sin x) \rightarrow 0, 且存在導數;\)

\(x^{3} \rightarrow 0, 且存在導數.\)

所以，能夠對 \((1)\) 式使用洛必達法則：

\(原式=\lim_{x\rightarrow0}\frac{[\sin x-\sin(\sin x)]'}{(x^{3})'}=\lim_{x\rightarrow0}\frac{\cos x-\cos(\sin x)\cos x}{3x^{2}}\)

化簡得：

\(原式=\lim_{x\rightarrow0}\frac{\cos[1-\cos(\sin x)]}{3x^{2}}\)

因爲，當 \(x \rightarrow 0\) 時，\(\cos x \rightarrow 1\), 所以，進一步化簡得：

\(原式=\lim_{x\rightarrow0}\frac{1-\cos(\sin x)}{3x^{2}}\)

使用等價無窮小進一步計算可得：

\(原式=\lim_{x\rightarrow0}\frac{\frac{1}{2}\sin^{2}x}{3x^{2}}=\frac{\frac{1}{2}}{3}=\frac{1}{6}\)

方法一手寫做答

方法二手寫做答

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