2017 年研究生入學考試數學一選擇題第 2 題解析

題目

若函數 \(f(x)\) 可導，且 \(f(x)f'(x)>0\), 則（）

( A ) \(f(1)>f(-1)\)

( B ) \(f(1)<f(-1)\)

( C ) \(|f(1)|>|f(-1)|\)

( D ) \(|f(1)|<|f(-1)|\)

解析

觀察題目咱們能夠發現，\(f(x)f'(x)\) 和下面這個這個公式很像：

\([f(x) \cdot g(x)]'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)\)

若是咱們令 \(g(x)=f(x)\), 則有：

\(f'(x)g(x)+f(x)g'(x)=f'(x)f(x)+f(x)f'(x)=f(x)f'(x)+f(x)f'(x)=2f(x)f'(x)\)

進一步，咱們能夠令 \(F(x)=f^{2}(x)\), 則有：

\(F'(x)=2f(x)f'(x)\)

由題可知，\(f(x)f'(x)>0\), 因而有 \(F'(x)>0\), 即 \(F(x)\) 是一個單調遞增的函數，由此可得：

\(F(1)-F(-1)>0\)

即：

\(f^{2}(1)-f^{2}(-1)>0 \Rightarrow f^{2}(1)>f^{2}(-1) \Rightarrow |f(1)|>|f(-1)|\)

綜上可知，正確答案爲：C

EOF