向量內積（點乘）和外積（叉乘）概念及幾何意義

 

向量的內積（點乘）

定義

歸納地說，向量的內積（點乘/數量積）。對兩個向量執行點乘運算，就是對這兩個向量對應位一一相乘以後求和的操做，以下所示，對於向量a和向量b：

a和b的點積公式爲：

這裏要求一維向量a和向量b的行列數相同。注意：點乘的結果是一個標量(數量而不是向量)

定義：兩個向量a與b的內積爲 a·b = |a||b|cos∠(a, b)，特別地，0·a =a·0 = 0；若a，b是非零向量，則a與b****正交的充要條件是a·b = 0。

向量內積的性質：

1. a^2 ≥ 0；當a^2 = 0時，必有a = 0. （正定性）
2. a·b = b·a. （對稱性）
3. (λa + μb)·c = λa·c + μb·c，對任意實數λ, μ成立. （線性）
4. cos∠(a,b) =a·b/(|a||b|).
5. |a·b| ≤ |a||b|，等號只在a與b共線時成立.

向量內積的幾何意義

內積（點乘）的幾何意義包括：

1. 表徵或計算兩個向量之間的夾角
2. b向量在a向量方向上的投影

有公式：

推導過程以下，首先看一下向量組成：

定義向量c：

根據三角形餘弦定理（這裏a、b、c均爲向量，下同）有：

根據關係c=a-b有：

即：

a∙b=|a||b|cos⁡(θ)

向量a，b的長度都是能夠計算的已知量，從而有a和b間的夾角θ：

θ=arccos⁡(a∙b|a||b|)

進而能夠進一步判斷兩個向量是否同一方向或正交(即垂直)等方向關係，具體對應關係爲：

a∙b>0→方向基本相同，夾角在0°到90°之間
a∙b=0→ 正交，相互垂直
a∙b<0→ 方向基本相反，夾角在90°到180°之間

向量的外積（叉乘）

定義

歸納地說，兩個向量的外積，又叫叉乘、叉積向量積，其運算結果是一個向量而不是一個標量。而且兩個向量的外積與這兩個向量組成的座標平面垂直。

定義：向量a與b的外積a×b是一個向量，其長度等於|a×b| = |a||b|sin∠(a,b)，其方向正交於a與b。而且，(a,b,a×b)構成右手系。
特別地，0×a = a×0 = 0.此外，對任意向量a，a×a=0。

對於向量a和向量b：

a和b的外積公式爲：

其中：

根據i、j、k間關係，有：

向量外積的性質

1. a × b = -b × a. （反稱性）
2. (λa + μb) × c = λ(a ×c) + μ(b ×c). （線性）

向量外積的幾何意義

在三維幾何中，向量a和向量b的外積結果是一個向量，有個更通俗易懂的叫法是法向量，該向量垂直於a和b向量構成的平面。

在3D圖像學中，外積的概念很是有用，能夠經過兩個向量的外積，生成第三個垂直於a，b的法向量，從而構建X、Y、Z座標系。以下圖所示：

在二維空間中，外積還有另一個幾何意義就是：|a×b|在數值上等於由向量a和向量b構成的平行四邊形的面積。