1998年研究生入學考試數學二填空題第1題解析（三種方法）

題目

$\lim_{x \to 0}\frac{\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}-2}{x^{2}}=$

解法一

使用四則運算將原式化簡，以後使用等價無窮小替換求出結果。

$\lim_{x \to 0}\frac{\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}-2}{x^{2}}
=\lim_{x\to0}\frac{(\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}-2)(\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}+2)}{x^{2}(\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}+2)}
=\lim_{x \to 0}\frac{(\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x})^{2}-4}{x^{2}(\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}+2)}
=\lim_{x\to0}\frac{1+x+1-x+2\sqrt{1+x}\sqrt{1-x}-4}{x^{2}(\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}+2)}
=\lim_{x\to0}\frac{2\sqrt{1+x}\sqrt{1-x}-2}{x^{2}(\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}+2)}$

因爲當 $x\rightarrow0$ 時，$(\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x})\rightarrow2$, 所以有：
$\lim_{x\to0}\frac{2\sqrt{1+x}\sqrt{1-x}-2}{4x^{2}}=lim_{x\to0}\frac{2(\sqrt{1-x^{2}}-1)}{4x^{2}}=lim_{x\to0}\frac{\sqrt{1-x^{2}}-1}{2x^{2}}$

根據等價無窮小的以下替換原則：
$(1+x)^{\mu }-1\backsim\mu x$
（更多能夠參考高等數學中經常使用的等價無窮小）
可知：
$\sqrt{1-x^{2}}-1\backsim-\frac{1}{2}x^{2}$, 所以有：

$lim_{x\to0}\frac{-\frac{1}{2}x^{2}}{2x^{2}}=-\frac{1}{4}$

解法二

觀察題目中的式子能夠發現，當 $x\rightarrow0$ 時，知足如下條件：

(1) $\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}-2\rightarrow0$
(2) $x^{2}\rightarrow0$ 且 $x^{2}\neq0$
(3) $y=\sqrt{1+x}+\sqrt{1-x}-2$ 和 $y=x^{2}$ 在 $0$ 附近二者均可導（在 $0$ 附近，導數存在且連續，故可導）。

綜上可知，此處可使用 $\frac{0}{0}$ 型的洛必達法則，便可以對分子和分母分別求導後再求極限來肯定未定式的值。

求導過程以下：

原式 $=lim_{x \to 0}\frac{\frac{1}{2\sqrt{1+x}} - \frac{1}{2 \sqrt{1-x}}}{2x} = lim_{x \to 0}\frac{\frac{1}{\sqrt{1+x}}-\frac{1}{\sqrt{1-x}}}{4x} = lim_{x \to 0}\frac{\sqrt{1-x}-\sqrt{1+x}}{4x(\sqrt{1+x} \times \sqrt{1-x})} = lim_{x \to 0}\frac{\sqrt{1-x} - \sqrt{1+x}}{4x \sqrt{1-x^{2}}}$

由於，當 $x \rightarrow0$ 時，$\sqrt{1-x^{2}} \rightarrow 1$, 因此有：

$lim_{x \to 0}\frac{\sqrt{1-x}-\sqrt{1+x}}{4x}$

上面的計算過程依次是「求導 / 化簡 / 化簡 / 化簡 / 化簡」。下面開始正式使用 $\frac{0}{0}$ 型的洛必達法則進行計算：


$\overset{\frac{0}{0}}{\rightarrow}lim_{x \to 0} = -\frac{\frac{1}{2\sqrt{1-x}} - \frac{1}{2\sqrt{1+x}}}{4}$

通過上面的求導，咱們發現，當 $x \rightarrow 0$ 時，$-\frac{1}{2\sqrt{1-x}} \rightarrow -\frac{1}{2}$, $-\frac{1}{2\sqrt{1+x}} \rightarrow 0$, 所以有：

原式 $=\frac{-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}}{4} = \frac{-(\frac{1}{2}+\frac{1}{2})}{4} = -\frac{1}{4}$

在使用洛必達法則解決該問題的時候，進行了兩次求導。其實，只要知足如下三個條件，則在使用洛必達法則的過程當中能夠進行任意次求導，但須要注意的是，每一次求導以前必須確保式子仍然知足以下三個條件，不然不能使用洛必達法則：

設：$y=\frac{f(x)}{g(x)}$, 則需知足：

(01) $x \rightarrow x_{0}$ 或 $x \rightarrow \infty$ 時，$f(x)$ 和 $g(x)$ 均趨於 $0$ 或者趨於 $\infty$;
(02) $f(x)$ 和 $g(x)$ 在 $x_{0}$ 的去心鄰域可導且 ${g}'(x) \neq 0$;
(03) $\frac{{f}'(x)}{{g}'(x)}$ 的極限存在或者爲無窮大。

總結來講，洛必達法則的使用方法以下：

$lim_{x \to x_{0}} \frac{f(x)}{g(x)} = lim_{x \to x_{0}} \frac{{f}'(x)}{{g}'(x)}$

解法三

觀察題目中的式子咱們發現，可使用麥克勞林展開式的 $(1+x)^{m}$ 的形式和皮亞諾餘項對該題目進行計算，公式以下：

$(1+x)^{m} = 1+mx+\frac{m(m-1)}{2!}x^{2}+o(x^{2})$

代入公式可得：

$\sqrt{1+x}=(1+x)^{\frac{1}{2}}=1+\frac{1}{2}x+\frac{\frac{1}{2}\times(\frac{1}{2}-1)}{2!}x^{2}+o(x^{2})=1+\frac{1}{2}x-\frac{1}{8}x^{2}+o(x^{2})$

$\sqrt{1-x}=(1-x)^{\frac{1}{2}}=1-\frac{1}{2}x+\frac{\frac{1}{2}\times(\frac{1}{2}-1)}{2!}x^{2}+o(x^{2})=1-\frac{1}{2}x-\frac{1}{8}x^{2}+o(x^{2})$

因而有：

原式$=lim_{x \to 0}\frac{1+\frac{1}{2}x-\frac{1}{8}x^{2}+1-\frac{1}{2}x-\frac{1}{8}x^{2}+o(x^{2})-2}{x^{2}}=lim_{x \to 0}\frac{-\frac{1}{4}x^{2}+o(x^{2})}{x^{2}}=lim_{x\to0}-\frac{1}{4}+\frac{0(x^{2})}{x^{2}}=-\frac{1}{4}$

EOF