MPC調節器
1.給定一個由狀態空間法描述的離散系統： 算法
MPC控制器與其餘線性二次調節器(LQR)的區別就在於其能夠很好的將系統動態約束歸入考慮。函數
採樣週期Ts控制了算法的效率，太大會錯過不少系統運行時的細節（擾動），過小又使得計算量變大。合適的取值應該取上升時刻Tr的5%-10%，或取調節時間的百分之十，在過渡時間內採樣5-16次。
性能
2.MPC的基本運行機理： 優化
1）預測系統將來動態求解spa
2）優化問題設計
3）解的第一個元素做用於系統3d
4）滾動時域、重複進行blog
3.預測 class
按照運行機理的第一步，在給定系統動態方程下進行預測系統接下來的狀態。對於2.1所描述的系統，將其寫成增量形式：效率
增量形式系統動態方程
MPC能夠自然地處理增量式問題，這有助於消除靜態偏差。MPC在每一個採樣時刻都在線的求解有限時域（p）一次開環最優問題。所以，在每一個時刻咱們都把最新的測量值做爲初始條件，代入2.4便可預測將來系統動態。在預測的過程當中，咱們並不考慮系統真實的輸出和狀態，由於在控制信號輸入前一切並未真正發生。一樣，可測干擾在k 時刻以後也認爲是不變的（在預測的過程當中），即Δd(k + i) = 0。這樣地去求解開環問題大大簡便了計算。爲了進一步提升計算速度，咱們還在預測域p以外定義一個控制域m。通常m是小於等於p，當t>m時，控制量保持不變：Δu(k + i) = 0。M控制了優化問題獨立變量個數，所以在犧牲必定自由度的基礎上提升了計算快速性。
P的取值不能過小，不然系統可能因爲參考輸出r忽然變化而沒法作出反應。一樣，p太大對擾動的反應會很慢。P的選取至少要大於系統開環響應的調節時間Ts，即此時誤差小於2%或5%。
M雖然越小越容易計算，但過小也會致使輸出y一直達不到參考輸入r。即便m=p，咱們也只將第一個u做爲真實輸入，後續的u對實際輸出曲線y的影響較小。故m通常取p或Ts的10%-20%，至少2-3個時間步。
當咱們測量獲得x（k）時，預測過程就開始了:
進一步，由輸出方程（2 . 4b）能夠預測k+l 至k+p 的被控輸出:
定義p 步預測輸出向量和m 步輸入向量以下：
矩陣下標表示的是矩陣中向量（或標量）的個數，不必定是矩陣的維數．例如，上式中， p × 1 僅表示馬（ k + Ilk ）矩陣中Ye 的個數，當Ye 是向量時， px l
並不等於矩陣的維數．
那麼，對系統將來p 步預測的輸出能夠由下面的預測方程計算：
上式中Su 的下三角形式直接反映了系統在時間上的因果關係，即k+l 時刻的輸
入對k 時刻的輸出沒有影響， k + 2 時刻的輸入對k 和k+l 時刻的輸出沒有影響，
等等。
4.無約束預測控制
給定參考輸入r，定義目標函數：
咱們所要求解的問題：
將（2.20）寫成矩陣向量形式，則
定義輔助變量：
由此咱們已經獲得了控制序列U(k)。因爲咱們採用的預測模型是線性的，目標函數是二次型的，且沒有考慮時域
硬約束，所以，能夠獲得優化問題的解析解，無須採用數佳方法求解。
U(k)中的元素是時間的函數，它以測量值y(k)爲初始條件，並將第一個元素真實做用於系統:
由函數關係可知，U是當前測量值y(k)的函數：
但這裏的控制序列是開環求解的，爲了處理外部干擾和模型失配，只將第一個元素做爲真實輸入。假如將所有元素做爲控制輸入，y(k+1)以後的測量值將沒法使用，使控制系統處於"離線"狀態。所以最好的作法是，只用第一個控制輸入，隨後系統在控制信號做用下進入下一個時刻，獲得新的測量值做爲初始條件再次求解MPC問題，故也體現出MPC的反饋控制特性:
每一個時刻的初始條件不一樣，MPC的目標函數也是處於動態變化過程當中。雖然並不保證能求得全局最優解，但隨着反覆在線優化，總體控制效果要比傳統的最優控制要好。
（2.35）中Ep(k + l l k）由（2.28 ）在線計算．顯然3 若是加權陣I'y 和幾是與時間無關的常數，則Kmpc 能夠由（2 . 34 ）離線計算．在k+l 時刻，獲得新的測量值x(k + 1),將由預測方程（ 2. 13 ）從新計算系統將來的輸出，井且由（2.33）計算最優控制序列t:.U*(k + 1 ）.最後，由預測控制基本原理中的"滾動時域、重複進行"的機制，給出無約束預測控制的算法以下:
下面仔細分析一下預測控制器（2.35）的結構．爲此，將Yc(k) = Ccx(k）和t:. x(k) = x(k) - x(k - 1 ）代入（ 2.28 ），推導得：
上式中的各項具備如下解釋：
(1)第一項是基於將來參考輸入的前饋補償
(2)第三項的是基於可測干擾的前饋補償
(3)第二項+第四項是狀態反饋補償．值得注意的是，
這裏的反饋補償不只用到了當前時刻的狀態值，還用到了前一時刻的狀態值．所以，預測控制（2.35 ）具備"前饋－反饋"結構．這應該是在工業應用中的廣泛結論"預測控制性能好"的控制理論解釋。
需妥指出的是計算前饋控制量時用到了參考輸入在預測時域內的全部值．所以，選擇過長的預測時域可能會致使保守的控制動做。
5.閉環系統分析
在狀態空間理論下，無約束MPC是能夠達到漸進穩定的。
先推導預測控制閉環系統的表達式．將（2.lb ）和（2.28）代入預測控制律（2. 35),得：
由此，閉環控制系統方程爲：
若矩陣:
的全部特徵值均位於單位圓內，則閉環系統（ 2.3 8 ）是名義漸近穩定的．所以，當咱們完成無約束預測控制器設計後，須要覈實矩陣的全部特徵值是否在單位圓內。
同時，當系統知足漸進穩定時，MPC能夠作到無靜差跟蹤。