u3d中的數學基礎-----四元數

轉自http://blog.sina.com.cn/s/blog_4a2183a60100ngaa.html

 

今天準備學習和研究下unity3d的四元數 Quaternion

 

四元數在電腦圖形學中用於表示物體的旋轉，在unity中由x,y,z,w 表示四個值。

 

四元數是最簡單的超複數。 複數是由實數加上元素 i 組成，其中i^2 = -1 \,。 類似地，四元數都是由實數加上三個元素 i、j、k 組成，並且它們有以下的關係： i^2 = j^2 = k^2 = ijk = -1 \, 每一個四元數都是 一、i、j 和 k 的線性組合，便是四元數通常可表示爲a + bi + cj + dk \,。

 

具體的四元數知識可從百度、維基等網站了解。

http://baike.baidu.com/view/319754.htm

 

如今只說說在unity3D中如何使用Quaternion來表達物體的旋轉。

 

基本的旋轉咱們能夠用腳本內置旋轉函數transform.Rotate()來實現。 

function Rotate (eulerAngles : Vector3, relativeTo : Space = Space.Self) : void

可是當咱們但願對旋轉角度進行一些計算的時候，就要用到四元數Quaternion了。我對高等數學來講就菜鳥一個，只能用最樸素的方法看效果了。

Quaternion的變量比較少也沒什麼可說的，你們一看都明白。惟一要說的就是x\y\z\w的取值範圍是[-1,1],物體並非旋轉一週就全部數值迴歸初始值，而是兩週。

初始值： (0,0,0,1)

沿着y軸旋轉：180°(0,1,0,0) 360°（0,0,0,-1）540°(0,-1,0,0) 720°(0,0,0,1) 

沿着x軸旋轉：180°(-1,0,0,0) 360°（0,0,0,-1）540°(1,0,0,0) 720°(0,0,0,1)

 

無旋轉的寫法是Quaternion.identify

 

如今開始研究Quaternion的函數都有什麼用。

函數

1） function ToAngleAxis (out angle : float, out axis : Vector3) : void

Description

Converts a rotation to angle-axis representation

這個函數的做用就是返回物體的旋轉角度（物體的z軸和世界座標z軸的夾角）和三維旋轉軸的向量到變量out angle 和out axis

 

腳本：

var a=0.0;

var b=Vector3.zero;

transform.rotation.ToAngleAxis(a,b);

 

輸入：transform.localEularAngles=(0,0,0);

輸出： a=0, b=(1,0,0);

輸入：transform.localEularAngles=(0,90,0);

輸出：a=90, b=(0,1,0);

輸入：transform.localEularAngles=(270,0,0);

輸出：a=90, b=(-1,0,0)

 

2） function SetFromToRotation (fromDirection : Vector3, toDirection : Vector3) : void

Description

Creates a rotation which rotates from fromDirection to toDirection.

這個函數的做用是把物體的fromDirection旋轉到toDirection

 

腳本：

var a:Vector3;

var b:Vector3;

var q:Quaternion;

var headUpDir:Vector3;

q.SetFromToRotation(a,b);

transform.rotation=q;

headUpDir=transform.TransformDirection(Vector3.Forward);

輸入：a=Vector3(0,0,1); b=Vector3(0,1,0)//把z軸朝向y軸

輸出： q=(-0.7,0,0,0.7); headUpDir=(0,1,0) 

輸入：a=Vector3(0,0,1); b=Vector3(1,0,0)//把z軸朝向x軸

輸出： q=(0,0.7,0,0.7); headUpDir=(1,0,0) 

輸入：a=Vector3(0,1,0); b=Vector3(1,0,0)//把y軸朝向x軸

輸出： q=(0,0,-0.7,0.7); headUpDir=(0,0,1) 

3） function SetLookRotation (view : Vector3, up : Vector3 = Vector3.up) : void

Description

Creates a rotation that looks along forward with the the head upwards along upwards

Logs an error if the forward direction is zero.

這個函數創建一個旋轉使z軸朝向view  y軸朝向up。這個功能讓我想起了Maya裏的一種攝像機lol，你們本身玩好了，頗有趣。

 

腳本：

var obj1: Transform;

var obj2: Transform;

var q:Quaternion;

q.SetLookRotation(obj1.position, obj2.position);

transform.rotation=q;

而後你們拖動obj1和obj2就能夠看到物體永遠保持z軸朝向obj1， 而且以obj2的位置來保持y軸的傾斜度。

傻逗我玩了半天 哈哈^^ 這個功能挺實用的。

4） function ToString () : string

Description

Returns a nicely formatted string of the Quaternion

這個通常用不着吧？看不懂的一邊查字典去~

Class Functions

1）四元數乘法 *

建議非特別瞭解的人羣就不要用了。

做用很簡單，c=a*b (c,a,b∈Quaternion)能夠理解爲 ∠c=∠a+∠b

可是a*b 和b*a效果不同的。

 2) == 和 !=

不解釋了

3）static function Dot (a : Quaternion, b : Quaternion) : float

Description

The dot product between two rotations

點積，返回一個float. 感受用處不大。Vector3.Angle()比較經常使用。

 

4）static function AngleAxis (angle : float, axis : Vector3) : Quaternion

Description

Creates a rotation which rotates angle degrees around axis.

物體沿指定軸向axis旋轉角度angle, 很實用的一個函數也是。

 

腳本：

var obj1: Transform;

var obj2: Transform;

var q:Quaternion;

//物體沿obj2的z軸旋轉，角度等於obj1的z軸。

q=Quaternion.AngleAxis(obj1.localEularAngle.z, obj2.TransformDirection(Vector3.forward));

transform.rotation=q;

5）static function FromToRotation (fromDirection : Vector3, toDirection : Vector3) : Quaternion

Description

Creates a rotation which rotates from fromDirection to toDirection.

Usually you use this to rotate a transform so that one of its axes eg. the y-axis - follows a target direction toDirection in world space.

跟SetFromToRotation差很少，區別是能夠返回一個Quaternion。一般用來讓transform的一個軸向(例如 y軸)與toDirection在世界座標中同步。

6）static function LookRotation (forward : Vector3, upwards : Vector3 = Vector3.up) : Quaternion

Description

Creates a rotation that looks along forward with the the head upwards along upwards

Logs an error if the forward direction is zero.

跟SetLootRotation差很少，區別是能夠返回一個Quaternion。

 

7）static function Slerp (from : Quaternion, to : Quaternion, t : float) : Quaternion

Description

Spherically interpolates from towards to by t.

從from 轉換到to，移動距離爲t。 也是很經常使用的一個函數，用法比較多，我的感受比較難控制。當兩個quaternion接近時，轉換的速度會比較慢。

 

腳本：

var obj1: Transform;

var t=0.1;

var q:Quaternion;

//讓物體旋轉到與obj1相同的方向

q=Quaternion.Slerp(transform.rotation, obj1.rotation,t);

transform.rotation=q;

根據我我的推測，可能t 表明的是from 和to 之間距離的比例。 爲此我作了實驗並證實了這一點即：

q=Quaternion.Slerp(a,b,t);

q,a,b∈Quaternion

t[0,1]

q=a+(b-a)*t

而且t最大有效範圍爲0~1

腳本：

var obj1: Transform;

var obj2：Transform；

var t=0.1;

var q:Quaternion;

//讓物體obj1和obj2 朝向不一樣的方向，而後改變t

q=Quaternion.Slerp(obj1.rotation, obj2.rotation,t);

transform.rotation=q;

t+=Input.GetAxis("horizontal")*0.1*Time.deltaTime；

7） static function Lerp (a : Quaternion, b : Quaternion, t : float) : Quaternion

Description

Interpolates from towards to by t and normalizes the result afterwards.

This is faster than Slerp but looks worse if the rotations are far apart

跟Slerp類似，且比Slerp快，.可是若是旋轉角度相距很遠則會看起來不好。

8）static function Inverse (rotation : Quaternion) : Quaternion

Description

Returns the Inverse of rotation.

返回與rotation相反的方向

 

9）static function Angle (a : Quaternion, b : Quaternion) : float

Description

Returns the angle in degrees between two rotations a and b.

計算兩個旋轉之間的夾角。跟Vector3.Angle() 做用同樣。

10）static function Euler (x : float, y : float, z : float) : Quaternion

Description

Returns a rotation that rotates z degrees around the z axis, x degrees around the x axis, and y degrees around the y axis (in that order).

把旋轉角度變成對應的Quaternion

以上就是Quaternion的全部函數了。

關於應用，就說一個，其餘的有須要再補充。

 

Slerp 函數是很是經常使用的一個函數，用來產生旋轉。

static function Slerp (from : Quaternion, to : Quaternion, t : float) : Quaternion

對於新手來講，最難的莫過於如何用它產生一個勻速的旋轉。若是想用它產生勻速轉動，最簡單的辦法就是把form和to固定，而後勻速增長t

腳本：

var obj1: Transform;

var obj2：Transform；

var speed:float;

var t=0.1;

var q:Quaternion;

q=Quaternion.Slerp(obj1.rotation, obj2.rotation,t);

transform.rotation=q;

t+=Time.deltaTime;

可是這並不能解決全部狀況。 不少時候from 和to都不是固定的，並且上一個腳本也不能保證全部角度下的旋轉速度一致。因此我寫了這個腳原本保證能夠應付大多數狀況。

腳本：

var target: Transform;

var rotateSpeed=30.0;

var t=float;

var q:Quaternion;

var wantedRotation=Quaternion.FromToRotation(transform.position,target.position);

t=rotateSpeed/Quaternion.Angle(transform.rotation,wantedRotation)*Time.deltaTime;

q=Quaternion.Slerp(transform.rotation, target.rotation,t);

transform.rotation=q;

這個腳本能夠保證物體的旋轉速度永遠是rotateSpeed。

第七行用旋轉速度除以二者之間的夾角獲得一個比例。

若是自身座標和目標之間的夾角是X度，咱們想以s=30度每秒的速度旋轉到目標的方向,則每秒旋轉的角度的比例爲s/X。 再乘以每次旋轉的時間Time.deltaTime咱們就獲得了用來勻速旋轉的t值。