四元數基礎和DX9的函數

四元數基礎

一、定義。

typedef struct D3DXQUATERNION { FLOAT x; FLOAT y; FLOAT z; FLOAT w;} 3DXQUATERNION;

DIRECTX9文檔中定義,令q爲一四元數，theta爲繞軸axis旋轉的角度，則：

q.x = sin(theta/2) * axis.x
q.y = sin(theta/2) * axis.y
q.z = sin(theta/2) * axis.z
q.w = cos(theta/2)

能夠簡單寫爲：q = [sin(theta/2)axis, sin(theta/2)w] 或者 [x,y,z,w] 或者[v,w]

二、負四元數-q 。

-q = [-q.x, -q.y, -q.z, -q.w]

3D幾何意義：軸變換了方向，角度也換了方向，恰好 -q = q。這個特性比較鬱悶，在3D中任意方位，都有2種不一樣的四元數表示方法，居然不是惟一的。

三、單位四元數q = [0,0,0,1].

3D幾何意義：好像還看不出有什麼幾何意義。補充：用處是爲了表示旋轉0角度，通常用在變量初始化，和矩陣的單位初始話一個道理。

D3DXQuaternionIdentity

D3DXQuaternionIsIdentity

四、四元數的長度或者模 ||q||。

D3DXQuaternionLengthSq 長度的平方 = x*x + y*y + z*z + w*w;

D3DXQuaternionLength 長度，上式的平方根。

根據3D中四元數的定義，只有單位長度的四元數纔有意義。儘管在DIRECTX中不少公式並不要求單位四元數，可是咱們必須明白，只有單位四元數纔有意義。補充：單位四元數的長度爲1.

D3DXQuaternionNormalize,這個公式是求標準四元數，相似矢量的正則化。

五、共軛: [-x, -y, -z, w]。逆：共軛除於長度,記爲q-1 。

共軛: D3DXQuaternionConjugate

逆：D3DXQuaternionInverse

3D幾何意義：至關於轉了一個相反的角。因爲3D中只有單位長度的四元數纔有意義，共軛和逆是同樣的。

六、四元數的點積。

D3DXQuaternionDot

q1.q2 = [v1,w1].[v2,w2]=v1.v2 + w1.w2 = x1x2+y1y2+z1z2+w1w2;

3D幾何意義：絕對值越大，2個方位越近似，夾角的餘弦。補充：對於單位四元數，有-1 <= a.b <= +1,咱們通常只關心其絕對值，和矢量點乘相似，絕對值越大，表示2個角度的角位移越小（即類似）。

七、四元數的叉積，通常咱們說四元數的乘，指的就是這個叉積。

D3DXQuaternionMultiply

[v1,w1] X [v2,w2] = [w1v2 + w2v1 + v1 X v2, w1w2 - v1.v2];

=[ w1x2 + x1w2 + z1y2 - y1z2,

   w1y2 + y1w2 + x1z2 - z1x2,

   w1z2 + z1w2 + y1x2 - x1y2,

   w1w2 - x1x2 - y1y2 - z1z2 ]

特性：

a、 結合律 (ab)c = a(bc). 交換律不知足ab != ba 

b、 ||q1 q2|| = ||q1|| ||q2|| 這個說明：單位四元數相乘的結果仍是單位四元數。

c、 (ab)-1 = b-1a-1. 這個和矩陣的逆是同樣的。同理：

    (Q1Q2...Q(n-1)Qn)-1 = Qn-1Q(n-1)-1...Q2-1Q1-1

八、四元數的差：一個方位到另外一個方位的角位移。方位a旋轉到b的角位移爲d，則ad = b. 通過推導：d = a-1b

這個差找不到相應的DIRECTX公式。
 

在DirectX中提供了從歐拉角到四元數，從四元數到矩陣（Direct3D用旋轉來實現旋轉）的變換函數。下面參看：/Microsoft DirectX SDK/Include/d3dx9math.h的函數聲明

 

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從四元數變換到軸與旋轉角

// Compute a quaternin's axis and angle of rotation. Expects unit quaternions.

void WINAPI D3DXQuaternionToAxisAngle

    ( CONST D3DXQUATERNION *pQ, D3DXVECTOR3 *pAxis, FLOAT *pAngle );

 

從旋轉矩陣構造一個四元數

// Build a quaternion from a rotation matrix.

D3DXQUATERNION* WINAPI D3DXQuaternionRotationMatrix

    ( D3DXQUATERNION *pOut, CONST D3DXMATRIX *pM);

 

從一個軸與旋轉角構造一個四元數

// Rotation about arbitrary axis.

D3DXQUATERNION* WINAPI D3DXQuaternionRotationAxis

    ( D3DXQUATERNION *pOut, CONST D3DXVECTOR3 *pV, FLOAT Angle );

 

從歐拉角構造一個四元數

// Yaw around the Y axis, a pitch around the X axis,

// and a roll around the Z axis.

D3DXQUATERNION* WINAPI D3DXQuaternionRotationYawPitchRoll

    ( D3DXQUATERNION *pOut, FLOAT Yaw, FLOAT Pitch, FLOAT Roll );

 

下面咱們來看看如何使用：若某物體要繞Y軸旋轉fYaw，繞X軸旋轉fPitch，繞Z軸旋轉fRoll，那麼對應的旋轉矩陣matRot能夠這麼計算：

 

   D3DXQUATERNION qR;
    D3DXMATRIX matRot;
    D3DXQuaternionRotationYawPitchRoll(&qR, fYaw, fPitch, fRoll);
    D3DXMatrixRotationQuaternion(&matRot, &qR);

 

//Rotation about arbitrary axis.繞軸旋轉
D3DXQUATERNION* WINAPI D3DXQuaternionRotationAxis
    ( D3DXQUATERNION *pOut, CONST D3DXVECTOR3 *pV, FLOAT Angle );

 

矩陣分解爲比例，旋轉和位移三個份量：HRESULT WINAPI D3DXMatrixDecompose     ( D3DXVECTOR3 *pOutScale, D3DXQUATERNION *pOutRotation, *pOutTranslation, CONST D3DXMATRIX *pM );