線性代數公開課，《乘法和逆矩陣》中的五種矩陣乘法和Guass-Jordan消元

課程地址：麻省理工公開課 線性代數 MIT 18.06 Linear Algebra, Spring 2005 中英雙語字幕

1. 矩陣乘法

例子：

第一種，同濟課本上的，行乘列。
C21 = A第2行中元素，逐個乘以B的第1列元素，累加 = 3x3 + 4x2 = 17
C下標與AB的行列對應，逐個計算。

第二種和第三種要利用第一課中，線性組合的概念，線性組合與課本上的乘法完全不同，一些時間才轉過彎。

回顧一下列的線性組合乘法：
圖上乘法過程描述爲D的列的線性組合，E表示D的列是怎麼組合的，就是說，F = 1個D的第一列 + 2個D的第二列，1和2是E提供的。
當E拓展爲矩陣，而不是列項量時，F也會變成矩陣，此時矩陣乘法可以描述爲，F的第一列是矩陣D的所有列，和E的第一列的線性組合。至於剩下的列，D和和F其他列組合就可以求出。

舉例C = AB：

整個過程描述爲，C的列是A的列的線性組合。

第三種同理，換成行線性組合，就是幾個第幾行+幾個第幾行：
C = AB：

注意行向量在左，列向量在右，位置不同代表的行列變換不同，所以第三種描述爲C的行是B的行的線性組合。

第四種，AB = A的列xB的行的和：

看懂了。

第五種，分塊，看懂了

2. Guass-Jordan消元

視頻最後的增廣矩陣[A | I]，可以抽象爲矩陣乘法中的分塊，左邊塊是矩陣A，右邊塊是單位矩陣I，默認A可逆。
把塊A變成I的過程中，對A作的所有乘法和減法操作，可以合併爲乘以一個初等矩陣E（消元矩陣，第2課有講），也就是說 EA = I，顯然E就是A的逆，那麼 EI = E = A^-1。

因此增廣矩陣的變換過程可以理解爲 E[A | I] = [EA |E I] = [I | A^-1]。

也就解釋了爲什麼把待求逆的矩陣A和他的單位矩陣I拼在一塊[A | I]，把A轉換成I時，I會變成A^-1。