水面渲染-波動方程

不少遊戲描述的世界都會含有流體表面，他們多是個水池，多是桶強酸，或者一個熔岩坑。爲使這些對象的表面如同物理世界同樣，須要模擬波在液體表面的擾動傳播方式。

波動方程

波動方程是一個偏微分方程，表示爲在恆定張力下的一維線或二維面上每個點的運動方式

一維線波動方程爲：\[\frac{dy^2}{dt^2} =c^2 * \frac{dy^2}{dx^2}\] c爲波速，x,y是二維笛卡爾座標系的2個維

二維面波動方程爲 \[\frac{dz^2}{dt^2} =c^2 *(\frac{dz^2}{dx^2}+ \frac{dz^2}{dy^2})\] z爲x,y軸構成平面的第三維

因爲波速會由於粘性阻尼力衰減，因此水面的波動方程以下

\[\frac{dz^2}{dt^2} =c^2 *(\frac{dz^2}{dx^2}+ \frac{dz^2}{dy^2}) - u \frac{dz}{dt}\] u爲液體粘稠度，用以控制波在液體表面的存在時間

近似導數

實時仿真波動方程須要大量的計算，因此使用近似導數簡化方程

近似導數以下

\[\frac{dz(x,y,t)}{dx} =\frac{z(x+dx,y,t) - z(x-dx,y,t)}{2dx}\]

因此可得

\[\frac{dz^2(x,y,t)}{dx^2} =\frac{z(x+dx,y,t) - z(x-dx,y,t)-2z(x,y,t)}{2dx^2}\]

同理

\[\frac{dz(x,y,t)}{dt} =\frac{z(x,y,t+dt) - z(x,y,t-dt)}{2dt}\]

\[\frac{dz^2(x,y,t)}{dt^2} =\frac{z(x,y,t+dt) - z(x,y,t-dt)-2z(x,y,t)}{2dt^2}\]

\[\frac{dz^2(x,y,t)}{dt^2} =\frac{z(x,y+dy,t) - z(x,y-dy,t)-2z(x,y,t)}{2dy^2}\]

計算液體表面平移

由以前的近似表達式易得

\[\frac{z(x,y,t+dt) - z(x,y,t-dt)-2z(x,y,t)}{2dt^2} = c^2*\frac{z(x+dx,y,t) - z(x-dx,y,t)-2z(x,y,t)}{2dx^2} + c^2* \frac{z(x,y+dy,t) - z(x,y-dy,t)-2z(x,y,t)}{2dy^2} - u\frac{z(x,y,t+dt) - z(x,y,t-dt)}{2dt}\]

使dx =dy = d易得最終方程以下

\[z(x,y,t+dt) = \frac{4 - 8*c^2t^2/d^2}{ut+2} +\frac{ut-2}{ut+2}*z(x,y,t-dt)+\frac{2c^2t^2/d^2}{ut+2}*(z(x+dx,y,t)+z(x-dx,y,t)+z(x,y+dy,t)+z(x,y-dy,t))\]

穩定條件

若是波速c太快，或者dt時間段太長，使位移發散爲無窮大，須要約束c或t，約束以下

\[0<c<\frac{d}{2t}\sqrt{ut+2}\]

\[0<t<\frac{u-sqrt{u^2+32c^2/d^2}}{8c^2/d^2}\]（\[\frac{u-sqrt{u^2+32c^2/d^2}}{8c^2/d^2}>0\]）或\[0<t<\frac{u+sqrt{u^2+32c^2/d^2}}{8c^2/d^2}\]（\[\frac{u-sqrt{u^2+32c^2/d^2}}{8c^2/d^2}<0\]）

參考資源

Mathematics for 3D Game Programming and Computer Graphics, Third Edition