特徵向量到約當標準型

線性變換及其矩陣表示和類似變換

給定一組有限維向量空間V的基{e1, e2, ... en}，一個線性變換T: V->V'的關於這組基的「矩陣份量」[T(i,j)]，定義爲:
  T ej = sigma(i = 1 to n, T(i,j) ei) = T(1,j) e1 + T(2,j) e2 + ... T(n,j) en
也就是說，這個線性變換把基向量ej變換成一個新向量，它是基向量的如是的一個線性組合，而係數是這個（nxn）矩陣[T]的列向量，第j列對應ej。故而在一組基向量下，就有這麼個一個線性變換到矩陣（係數矩陣或座標變換矩陣）的一一對應：
  T (e1,e2,...,en) = (e1,e2,...,en) [T]
再次注意T表明線性變換，[T]是T在基向量組(e1,e2,...,en)下的對應矩陣。若是換一組基向量，一樣的線性組合就有不一樣的對應矩陣。

如今考慮基向量組的線性變換A（將一組基向量變換到另外一組基向量）及其逆變換A'，套用上面公式
  (e1,e2,...,en) = A(e1',e2',...,en') = (e1',e2',...,en') [A]
  (e1',e2',...,en') = A'(e1,e2,...,en) = (e1,e2,...,en) [A']
顯然有[A'][A] = [I]
一個向量v = (e1,e2,...,en) [v]，其中列向量[v]顯然就是座標。
那麼它由另外一組基表示v = (e1',e2',...,en') [v']，則有 [A][v] = [v']。這就是基變換下的對應的座標變換。
由線性變換的性質可得：
T(e1,e2,...,en) [v] = Te1 v1 + Te2 v2 + ... Ten vn = T ((e1,e2,...,en)[v])

因而：(e1',e2',...,en')[T'][x'] = T(e1',e2',...,en') [x'] = TA'(e1,e2,...,en) [A][x] = (e1,e2,...,en)[A'][T'][A][x] = (e1,e2,...,en)[T][x]
注意，TA'(e1,e2,...,en) [A]並不等於ATA'(e1,e2,...,en)（由此會得出荒唐結論），由於[A]不是基向量組TA'(e1,e2,...,en)下A的對應的變換矩陣。
上述說明，同一個線性變換T，在基向量組[e']下的矩陣是[T']，則在基向量組[e]下的矩陣爲[T] = [A'][T'][A]。

特徵值與特徵向量

若是存在非零的向量v，有S v = l v，則l是S的一個特徵值，v是對應的特徵向量。

對於任意l，容易證實Vl = {u | S u = l u} 是一個線性空間。它包含全部l對應的特徵的向量。若是l不是S的特徵值，則顯然Vl = {0}。

（未完待續）