04-A的LU分解

1、矩陣$AB$的逆

$(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$，順序正好相反

2、$A=LU$

　如矩陣：

$\left[\begin{array}{ll}{2} & {1} \\ {8} & {7}\end{array}\right]$ =>消元=>$\left[\begin{array}{ll}{2} & {1} \\ {0} & {3}\end{array}\right]$

　按照咱們在第二講所知，原始矩陣藉助$E_{21}$能夠實現矩陣的消元，即$E_{21}$ * $A$ = $U$：

$\left[\begin{array}{ll}{1} & {0} \\ {-4} & {1}\end{array}\right] * \left[\begin{array}{ll}{2} & {1} \\ {8} & {7}\end{array}\right]$ = $\left[\begin{array}{ll}{2} & {1} \\ {0} & {3}\end{array}\right]$

注意：這裏是2 * 2 矩陣，因此只須要一個初等矩陣相乘便可，如果更大的方陣，則每次消元都須要初等矩陣左乘

　而咱們知道$A=LU$，那麼這個$L$是什麼呢？

$A=LU$

$E_{21}A=U$

　第二個式子左右同時乘以$E_{21} ^{-1}$：

$A=E_{21} ^{-1}U$

　因此這個$L$就是$E_{21} ^{-1}$，初等矩陣的逆矩陣好求，就是初等矩陣變一下符號而已（僅僅由於這裏是2*2矩陣，若是3*3或者更大的矩陣，就不是這麼簡單了）：

$L$=$E_{21} ^{-1}$=$\left[\begin{array}{ll}{1} & {0} \\ {4} & {1}\end{array}\right]$

 

　這裏只是以簡單的2*2矩陣爲例進行了講解，$L$和$U$矩陣表示了下三角矩陣和上三角矩陣，過程以下：

$\left[\begin{array}{ll}{2} & {1} \\ {8} & {7}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ll}{1} & {0} \\ {4} & {1}\end{array}\right]\left[\begin{array}{ll}{2} & {1} \\ {0} & {3}\end{array}\right]$

即：$A = LU$

有時候會把主元摘出來：$A = LDU$

$\left[\begin{array}{ll}{2} & {1} \\ {8} & {7}\end{array}\right] = \left[\begin{array}{ll}{1} & {0} \\ {4} & {1}\end{array}\right]\left[\begin{array}{ll}{2} & {0} \\ {0} & {3}\end{array}\right]\left[\begin{array}{ll}{1} & {1/2} \\ {0} & {1}\end{array}\right]$

 

　咱們不能只停留在簡單的2 * 2矩陣上，下面咱們來處理更大的矩陣，好比3 * 3 矩陣：

$E_{32} E_{31} E_{21} A=U$（消元過程假設不須要進行行交換）

$A= E_{21}^{-1} E_{31}^{-1} E_{32}^{-1} U$

因此：$L= E_{21}^{-1} E_{31}^{-1} E_{32}^{-1}$

 

　實例：

　　上面的求$L$的過程看起來很麻煩，先要計算三個消元矩陣，而後計算他們的逆，反順序相乘，其實否則

　　對於初等矩陣，以前講到過，它的逆只要把變換再還回去就是，好比矩陣：

$\left[\begin{array}{lll}{1} & {0} & {0} \\ {2} & {1} & {0} \\ {0} & {0} & {1}\end{array}\right]$

　　表示將某矩陣的第一行乘2加到第二行上（若是用它右乘某矩陣的話），那麼這個操做的逆操做就是從第二行減去2倍的第一行就是了，因此它的逆矩陣就是：

$\left[\begin{array}{ccc}{1} & {0} & {0} \\ {-2} & {1} & {0} \\ {0} & {0} & {1}\end{array}\right]$

3、後半節須要再理解一下